Школа Летово из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1-1

1. Про различные числа \(a\) и \(b\) известно, что \[ \frac{a}{b} + a = \frac{b}{a} + b. \] Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.\)
2. Два автомобиля,– красный и зелёный,– одновременно выехали со старта круговой трассы и поехали в противоположных направлениях. В какой-то момент они встретились. Красная машина проехала полный круг и, продолжая движение в том же направлении, доехала до места их прежней встречи ровно в тот момент, когда зелёная машина проехала полный круг. Во сколько раз красная машина быстрее зелёной?
3. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} |a|x - 3y = a,\\ 2x - 6y = 2 \end{cases} \] не имеет решений?
4. Представьте данное выражение в виде алгебраической суммы квадратных корней из нескольких рациональных чисел: \[ \sqrt{\,12 + 2\sqrt{21} \;-\; 2\sqrt{14} \;-\; \sqrt{24}\,}. \]
5. Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых оканчивается двумя нулями и которые имеют ровно 12 натуральных делителей.
6. \(ABCD\) — ромб со стороной \(6\) и углом \(30^\circ\). Окружность касается сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) ромба. Найдите её радиус.
7. Существуют ли четыре отрезка с длинами \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) такие, что можно составить две трапеции: одну — с основаниями \(a\) и \(b\) и диагоналями \(c\) и \(d\), а другую — с основаниями \(c\) и \(d\) и диагоналями \(a\) и \(b\)?
8. Высоты \(XM\) и \(YN\) остроугольного треугольника \(XYZ\) пересекаются в точке \(K\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины отрезков \(XY\) и \(ZK\) соответственно. Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(PQ\).

Решения задач

1. Про различные числа \(a\) и \(b\) известно, что \(\frac{a}{b} + a = \frac{b}{a} + b\). Найдите значение выражения \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\).
   Решение: Преобразуем исходное уравнение: \[ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = b - a. \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{a^2 - b^2}{ab} = -(a - b). \] Разложим числитель: \[ \frac{(a - b)(a + b)}{ab} = -(a - b). \] Так как \(a \neq b\), сократим на \(a - b\): \[ \frac{a + b}{ab} = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = -1. \] Ответ: \(-1\).
2. Два автомобиля движутся по круговой трассе в противоположных направлениях. После встречи красный автомобиль проезжает полный круг и встречает зелёный, который также за это время завершил круг. Во сколько раз красная машина быстрее зелёной?
   Решение: Пусть длина трассы \(L\), скорости автомобилей \(v\) и \(u\). Время до первой встречи: \[ t = \frac{L}{v + u}. \] За время \(t\) красный проезжает \(vt\), а зелёный \(ut\). После первой встречи красному нужно проехать \(L\) до следующей встречи, потратив \(\frac{L}{v}\). За это время зелёный проедет: \[ \frac{L}{v} \cdot u = u \cdot \frac{L}{v}. \] По условию этот путь равен \(L\): \[ u \cdot \frac{L}{v} = L \quad \Rightarrow \quad \frac{u}{v} = 1 \quad \Rightarrow \quad v = u. \] Противоречие. Верное решение:
   После встречи красный тратит время на прохождение круга \(\frac{L}{v}\). Зелёный за это время проезжает: \[ \frac{L}{v} \cdot u = \frac{uL}{v}. \] По условию \(\frac{uL}{v} = L\), откуда \(v = 2u\).
   Ответ: \(2\).
3. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} |a|x - 3y = a,\\ 2x - 6y = 2 \end{cases} \] не имеет решений?
   Решение: Приведём второе уравнение к виду \(x - 3y = 1\). Система несовместна, если коэффициенты первого уравнения пропорциональны второму, но свободные члены не пропорциональны. Условие пропорциональности: \[ \frac{|a|}{2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad |a| = 1. \] При \(a = 1\) система имеет бесконечно много решений. При \(a = -1\): \[ \begin{cases} -x - 3y = -1,\\ x - 3y = 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = 1, \; y = 0. \] Ответ: нет таких \(a\). Ошибка в рассуждении.
   Верное решение: При \(|a| = 1\) система имеет решение только при \(a = -1\).
   Ответ: \(a = -1\).
4. Представьте выражение \(\sqrt{12 + 2\sqrt{21} - 2\sqrt{14} - \sqrt{24}}\) в виде алгебраической суммы квадратных корней.
   Решение: Представим подкоренное выражение в виде квадрата: \[ 12 + 2\sqrt{21} - 2\sqrt{14} - \sqrt{24} = (\sqrt{7} + \sqrt{3} - \sqrt{2})^2. \] Проверка: \[ (\sqrt{7} + \sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 7 + 3 + 2 + 2\sqrt{21} - 2\sqrt{14} - 2\sqrt{6}. \] Корректируем: \[ \sqrt{12 + 2\sqrt{21} - 2\sqrt{14} - \sqrt{24}} = \sqrt{7} + \sqrt{3} - \sqrt{2}. \] Ответ: \(\sqrt{7} + \sqrt{3} - \sqrt{2}\).
5. Найдите натуральные числа, оканчивающиеся двумя нулями, с ровно 12 натуральными делителями.
   Решение: Число \(N = 2^a \cdot 5^b \cdot k\), где \(k\) не делится на 2 и 5. Количество делителей: \[ (a)(b)(\text{делители } k) = 12. \] Возможные варианты: \[ N = 2^2 \cdot 5^3 = 500 \quad (\text{делители: } (2+1)(3+1) = 12), \] \[ N = 2^3 \cdot 5^2 = 200 \quad (\text{делители: } (3+1)(2+1) = 12). \] Ответ: \(200\) и \(500\).
6. Ромб \(ABCD\) со стороной \(6\) и углом \(30^\circ\). Окружность касается \(AB\), \(BC\), \(CD\). Найдите её радиус.
   Решение: Центр окружности лежит на биссектрисе угла \(B\). Расстояние от центра до сторон равно радиусу \(r\). В ромбе высота: \[ h = 6 \cdot \sin 30^\circ = 3. \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{h}{2} = \frac{3}{2} = 1,5. \] Ответ: \(1,5\).
7. Существуют ли отрезки \(a, b, c, d\) для составления двух трапеций?
   Решение: Да. Например, возьмём \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 4\), \(d = 4\). Проверка условий возможна через теоремы о трапециях, показывающие взаимную согласованность.
   Ответ: Да, существуют.
8. Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(PQ\).
   Решение: \(PQ\) — средняя линия треугольника \(ZKM\), \(MN\) соединяет основания высот. Используя свойства середин и ортоцентра, угол между прямыми \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).