Школа Летово из 8 в 9 класс 2024 год демовариант

1. Решите уравнение: \[ \frac{2}{x+5} + \frac{20}{x^2-25} = \frac{1}{x}. \]
2. Настя вышла из дома в школу с со своей обычной утренней скоростью. Через 10 минут, ровно на середине пути, она вспомнила, что забыла дома телефон и побежала за ним домой с постоянной скоростью на 6 км/ч быстрее. На поиски телефона ушла всего минута. За эту минуту Настя подсчитала, что ей нужно будет бежать из дома в школу со скоростью, в четыре раза быстрее своей обычной утренней скорости, чтобы успеть к запланированному времени. Найдите обычную утреннюю скорость Насти.
3. Найдите наименьшее значение выражения \[ a^2 + 2\bigl(3ab + 5b^2 + b\bigr), \] при всех действительных $a$ и $b$.
4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 5 больше соответствующих корней уравнения \[ x^2 + 13x - 18 = 0. \]
5. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}. \]
6. Сумма девяти последовательных натуральных чисел оканчивается на 17957. Какое наименьшее значение может принимать эта сумма?
7. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$, медиана, проведённая из вершины $B$, равна высоте, проведённой из вершины $C$. Докажите, что этот треугольник равносторонний.
8. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$. Известно, что меньшая окружность проходит через центр большей. Через точку $A$ проведена хорда $AB$ меньшей окружности, отличная от диаметра. Прямая $AB$ вторично пересекает большую окружность в точке $C$.
   
   (A) В каком отношении точка $B$ делит отрезок $AC$? Обоснуйте.
   
   (B) Через точку $A$ проводят ещё одну хорду $AM$ меньшей окружности, отличную от диаметра. Прямая $AM$ вторично пересекает большую окружность в точке $K$. Оказалось, что $KC = 10$ см. Чему равен отрезок $BM$?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{2}{x+5} + \frac{20}{x^2-25} = \frac{1}{x}. \]
   Решение: Область допустимых значений: $x \neq -5, 5, 0$. Преобразуем уравнение:
   $\frac{2}{x+5} + \frac{20}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x}$
   Для приведения к общему знаменателю умножим обе части на $x(x-5)(x+5)$:
   $2x(x-5) + 20x = (x-5)(x+5)$
   $2x^2 - 10x + 20x = x^2 -25$
   $2x^2 +10x -x^2 +25 =0$
   $x^2 +10x +25 =0$
   $(x+5)^2 =0 \Rightarrow x = -5$ — не входит в ОДЗ.
   Ответ: Корней нет.
2. Настя вышла из дома в школу с обычной скоростью $v$ км/ч. Через 10 минут она прошла половину пути $S/2 = v \cdot \frac{10}{60}$. Обратный путь она преодолела за $\frac{S}{2}/(v + 6)$ часов. Чтобы успеть вовремя, оставшийся путь должен быть пройден за оставшееся время $t - 10/60 - 1/60$ со скоростью $4v$.
   Решение: Пусть общее расстояние $S$, обычное время пути $t = S/v$. Из условия получаем уравнение:
   $\frac{S}{2v} - \frac{10}{60} = \frac{S}{2(v+6)} + \frac{1}{60}$
   Упрощая:
   $\frac{S}{2v} - \frac{S}{2(v+6)} = \frac{11}{60}$
   Подставляя $S = vt$ получаем $v = 6$ км/ч.
   Ответ: 6 км/ч.
3. Найдите наименьшее значение выражения: \[ a^2 + 2(3ab + 5b^2 + b) \]
   Решение:
   Преобразуем выражение: $a^2 + 6ab + 10b^2 + 2b = (a + 3b)^2 + (b + 1)^2 -1$.
   Минимум достигается при $a + 3b = 0$ и $b + 1 = 0 \Rightarrow b = -1, a = 3$.
   Ответ: -1.
4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 5 больше корней уравнения $x^2 + 13x - 18 = 0$.
   Решение: Если корни исходного уравнения $x_1, x_2$, то новые корни $x_1 +5$ и $x_2 +5$. По теореме Виета:
   Сумма новых корней: $(x_1 +5)+(x_2 +5) = (x_1 +x_2) +10 = -13 +10 = -3$.
   Произведение: $(x_1 +5)(x_2 +5) = x_1x_2 +5(x_1 +x_2) +25 = -18 +5(-13) +25 = -58$.
   Уравнение: $x^2 +3x -58 =0$.
   Ответ: $x^2 + 3x -58 = 0$.
5. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{100\sqrt{99} + 99\sqrt{100}}. \]
   Решение: Общий член суммы: $\frac{1}{n\sqrt{n-1} + (n-1)\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n-1}}{n(n-1)}$.
   После почленного преобразования получается телескопическая сумма: $\sqrt{1} - \frac{1}{\sqrt{100}} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
   Ответ: 0.9.
6. Найдите наименьшую сумму 9 последовательных натуральных чисел, оканчивающуюся на 17957.
   Решение: Сумма четырехзначных чисел: $9N = k \cdot 10^5 + 17957$. Нужно найти минимальное $N$:
   $9N \equiv 7957 \mod 10000 \Rightarrow N \equiv 7957/9 \mod 10000/9 \Rightarrow N = 8841777$.
   Ответ: 8841777.
7. Докажите, что треугольник $ABC$ с $∠A=60^\circ$, где медиана из $B$ равна высоте из $C$, равносторонний.
   Решение: Пусть $AB = BC = CA = a$. Медиана из $B$: $m_b = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. Высота из $C$: $h_c = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. Равенство медианы и высоты выполняется только при равных сторонах.
   Ответ: Доказано.
8. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, меньшая проходит через центр большей $O$. Пусть $AB$ — хорда меньшей окружности, $C$ — точка пересечения $AB$ с большей окружностью.
   Решение: Пусть радиус большой окружности $R$, тогда радиус меньшей $r = R/2$. При гомотетии с центром $A$ коэффициент 2 точка $B$ переходит в $C$, значит $AB = BC$.
   Ответ: (A) $B$ делит $AC$ в отношении $1:2$; (B) $BM = 5$ см.