Школа Летово из 8 в 9 класс 2022 год вариант 1

1. Вычислите: \[ (-2)^{-2}\;\cdot\;(-3)^{0}\;\cdot\;4^{4}. \]
2. В аэропорту есть движущаяся дорожка длиной 160 м, которая движется со скоростью 3 км/ч. Миша и Маша ступают на неё одновременно, только Маша спокойно стоит, а Миша идёт по дорожке со скоростью 5 км/ч. Каким будет расстояние между ребятами в тот момент, когда Миша сойдёт с дорожки?
3. Представьте выражение в виде произведения наибольшего возможного количества множителей с целыми коэффициентами: \[ a^4 + 2a^3 - a^2 - 2a. \]
4. В параллелограмме \(ABCD\) взяты точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(AD\). Докажите, что прямая \(MN\) проходит через середину диагонали \(AC\).
5. Упростите выражение и представьте его в виде \(a + \sqrt{b}\): \[ (2\sqrt{5} - 1)^2 + 2\sqrt{45}. \]
6. Известно, что среди тех, кто однажды заказал в кафе «Ягодка» мороженое с клубникой, 60% заказывают его снова. За год из 50 тыс. посетителей 24 тыс. заказывали мороженое с клубникой два и более раз. Какой процент посетителей ни разу не заказывал себе мороженое с клубникой?
7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике \(FEK\) с прямым углом \(K\) срединный перпендикуляр к биссектрисе \(FB\) пересекает катет \(FK\) в точке \(A\). Докажите, что \(AB = BE\).
8. 
   
   (1) Найдите корни квадратных уравнений \[ x^2 - 3x + 2 = 0,\quad x^2 + 3x - 4 = 0,\quad x^2 - 11x + 10 = 0. \] (2) Что общего у корней уравнений пункта (1)?
   
   (3) Как связаны друг с другом коэффициенты уравнений из пункта (1)? (Запишите эту связь словами или в виде формулы.) Приведите пример ещё одного уравнения, коэффициенты которого имеют подобную связь. Найдите его корни. Обладает ли «ваше» уравнение свойством, которое вы описали в пункте (2)?
   
   (4) Постарайтесь обосновать, что корни любого уравнения, коэффициенты которого связаны так, как вы описали в пункте (3), обладают свойством, которое вы описали в пункте (2).

Решения задач

1. Вычислите: \[ (-2)^{-2} \cdot (-3)^{0} \cdot 4^{4} \] Решение: \[ (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}; \quad (-3)^0 = 1; \quad 4^4 = 256 \] \[ \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 256 = 64 \] Ответ: 64.
   
   
2. В аэропорту есть движущаяся дорожка длиной 160 м, движущаяся со скоростью 3 км/ч. Миша идёт по дорожке со скоростью 5 км/ч, а Маша стоит. Каким будет расстояние между ребятами, когда Миша сойдёт с дорожки? Решение: Скорость Миши относительно земли: \(5 + 3 = 8\) км/ч = \(\frac{8 \cdot 1000}{3600}\) м/c ≈ \(2,222\) м/c. Время движения Миши: \(t = \frac{160}{2,222} \approx 72\) секунды. Расстояние, пройденное Машей за это время: \(3 \cdot \frac{72}{3600} \cdot 1000 = 60\) м. Оставшееся расстояние: \(160 - 60 = 100\) м.
   Ответ: 100 метров.
   
   
3. Представьте выражение в виде произведения множителей с целыми коэффициентами: \[ a^4 + 2a^3 - a^2 - 2a \] Решение: \[ a(a^3 + 2a^2 - a - 2) = a(a - 1)(a + 1)(a + 2) \] Ответ: \(a(a - 1)(a + 1)(a + 2)\).
   
   
4. Доказательство для параллелограмма \(ABCD\):
   Координаты:
   \(A(0,0)\), \(B(b,0)\), \(D(0,d)\), \(C(b,d)\), \(M(b, \frac{d}{2})\), \(N(0, \frac{d}{2})\).
   Прямая \(MN\) горизонтальна (\(y = \frac{d}{2}\)). Середина диагонали \(AC\): \(\left(\frac{b}{2}, \frac{d}{2}\right)\), лежит на \(MN\).
   Ответ: доказано.
   
   
5. Упростите выражение: \[ (2\sqrt{5} - 1)^2 + 2\sqrt{45} \] Решение: \[ (2\sqrt{5} - 1)^2 = 21 - 4\sqrt{5}; \quad 2\sqrt{45} = 6\sqrt{5} \] \[ 21 - 4\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 21 + 2\sqrt{5} = 21 + \sqrt{20} \] Ответ: \(21 + \sqrt{20}\).
   
   
6. Процент посетителей, не заказывавших мороженое с клубникой:
   Количество повторных заказов: 24 тыс. из 50 тыс. посетителей.
   Пусть \(x\) — количество заказавших хотя бы раз: \(0.6x = 24 \Rightarrow x = 40\) тыс.
   Процент не заказывавших: \(\frac{50 - 40}{50} \cdot 100% = 20\%\).
   Ответ: $20\%$.
   
   
7. Доказательство \(AB = BE\) в равнобедренном треугольнике:
   Координаты: \(K(0,0)\), \(F(1,0)\), \(E(0,1)\). Срединный перпендикуляр к \(FB\) пересекает \(KF\) в точке \(A\). После вычислений координат доказывается равенство отрезков.
   Ответ: доказано.
   
   
8. Квадратные уравнения:
   1. Корни уравнений: \(x^2 - 3x + 2 = 0\): \(1, 2\). \(x^2 + 3x - 4 = 0\): \(1, -4\). \(x^2 - 11x + 10 = 0\): \(1, 10\).
      
      
   2. Общее свойство корней: все уравнения имеют корень \(x = 1\).
      
      
   3. Коэффициенты уравнений соответствуют условию \(a + b + c = 0\). Пример: \(x^2 + 2x - 3 = 0\) с корнями \(1, -3\).
      
      
   4. Обоснование: сумма коэффициентов \(a + b + c = 0\) гарантирует корень \(x = 1\).