Школа Летово из 8 в 9 класс 2017 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Школа ЛЕТОВО
2017 год
Работа состоит из трех задач, на выполнение которых отводится 1,5 часа (90 минут).
Каждая задача посвящена какой-то одной теме и включает в себя несколько заданий, различающихся по уровню сложности и по количеству баллов. Все задачи
требуют развёрнутого решения.
При выполнении работы не разрешено пользоваться справочными материалами.
Ниже приведён пример задачи на одну тему, включающую несколько заданий.
Этот пример может дать представление о структуре и уровне сложности задач.
Числа, расположенные по кругу
- Расположите по кругу несколько различных чисел так, чтобы каждое число было равно сумме двух соседних чисел.
- Можно ли расположить по кругу несколько различных чисел так, чтобы каждое число было равно половине суммы двух соседних чисел? Свой ответ аргументируйте.
- Сколько чисел можно расположить по кругу так, чтобы выполнялось условие ПуНКта 1? Свой ответ аргументируйте.
- Можно ли расположить по кругу 101 число так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего числа к меньшему было простым числом? Свой ответ аргументируйте.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Расположите по кругу несколько различных чисел так, чтобы каждое число было равно сумме двух соседних чисел.
Решение: Рассмотрим систему уравнений для трёх чисел $a, b, c$: \[ \begin{cases} a = b + c \\ b = a + c \\ c = a + b \end{cases} \] Сложив все уравнения, получим $a + b + c = 2(a + b + c) \Rightarrow a + b + c = 0$. Подставив $a = b + c$ в это равенство, получим $2b + 2c = 0 \Rightarrow b = -c$. Тогда $a = 0$, что приводит к противоречию с требованием различных чисел. Аналогичный результат получается для любого чётного и нечётного количества чисел. Таким образом, задача не имеет решения.
Ответ: Невозможно.
- Можно ли расположить по кругу несколько различных чисел так, чтобы каждое число было равно половине суммы двух соседних чисел?
Решение: Для трёх чисел $a, b, c$: \[ \begin{cases} a = \frac{b + c}{2} \\ b = \frac{a + c}{2} \\ c = \frac{a + b}{2} \end{cases} \] Сложив уравнения, получим $a + b + c = a + b + c$, что верно для любых значений. Однако из первых двух уравнений следует $a = b$, что противоречит условию различных чисел. Аналогичный результат для любого количества чисел приводит к равенству всех чисел.
Ответ: Невозможно.
- Сколько чисел можно расположить по кругу так, чтобы выполнялось условие пункта 1?
Решение: Как показано в пункте 1, система уравнений для любого количества чисел $n \geq 3$ приводит к противоречию: все числа оказываются равными нулю или зависимыми друг от друга таким образом, что нарушается условие их различия.
Ответ: Ни одного.
- Можно ли расположить 101 число по кругу так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего числа к меньшему было простым числом?
Решение: Построим последовательность чисел, чередуя единицу и простые числа: $2, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, \dots$. Для 101-го числа вернёмся к началу: последнее число 1 соседствует с первым числом 2. Отношения будут: \[ \frac{2}{1} = 2, \frac{3}{1} = 3, \frac{5}{1} = 5, \dots, \frac{2}{1} = 2 \] Все отношения — простые числа.
Ответ: Да, можно.
Материалы школы Юайти