Школа Летово из 8 в 9 класс

1. Найдите значение выражения: \[ \biggl( \frac{4(\sqrt{11}-2)}{\sqrt{7}+\sqrt{11}} \;+\; \frac{4(\sqrt{7}+1)}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} \;-\;\sqrt{7}+\sqrt{11} \biggr)\,(9-\sqrt{7}). \]
   
   
2. Отметьте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству: \[ \frac{xy + x - y - 4}{x^2 - 4} \;=\; 1. \]
   
   
3. Для натурального числа \(n\) обозначим через \(S(n)\) сумму цифр числа \(n\). Найдите все решения уравнения: \[ n + S(n) \;=\; 2019. \]
   
   
4. Имеются две свечи разной длины и толщины. Отношение длин свечей равно \(5:7\), при этом длинная свеча полностью сгорает за \(3{,}5\) часа, а короткая — за \(5\) часов. Обе свечи зажгли одновременно. Через какое время горящие свечи окажутся одинаковой длины? (Каждая свеча горит с постоянной скоростью.)
   
   
5. Числа от \(1\) до \(30\) записали на месте пустых квадратиков ниже и получили \(15\) дробей. (Каждое число было записано ровно один раз.) \[ \boxed{\phantom{00}}\,/\,\boxed{\phantom{00}} \quad \boxed{\phantom{00}}\,/\,\boxed{\phantom{00}} \quad \dots \quad \boxed{\phantom{00}}\,/\,\boxed{\phantom{00}}. \] Значения некоторых из этих дробей оказались целыми числами. Найдите наибольшее возможное количество таких дробей и объясните, почему это число не может быть больше.
   
   
6. Известно, что уравнения \[ x^2 + p x + q = 0 \quad\text{и}\quad x^2 + p x + q + 2018 = 0, \quad q>0, \] имеют по два целых корня каждое.
   1. Приведите пример таких уравнений.
   2. Докажите, что каждое из уравнений имеет хотя бы один нечётный корень.
   
   
   
7. Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность, сторона \(AE\) равна радиусу окружности. Известно, что \(AB = BC = CD = DE\). Чему равен угол \(BCD\) пятиугольника?
   
   
8. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\parallel BC\)) точки \(M, N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Могут ли отрезки \(BN\) и \(DM\) лежать на параллельных прямых?
   
   
9. Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\). На стороне \(BC\) выбирается точка \(R\) такая, что \(\angle MRC = \angle ACB\). Найдите длину \(MR\), если длина отрезка \(AC = 7\).

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \biggl( \frac{4(\sqrt{11}-2)}{\sqrt{7}+\sqrt{11}} \;+\; \frac{4(\sqrt{7}+1)}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} \;-\;\sqrt{7}+\sqrt{11} \biggr)\,(9-\sqrt{7}) \]
   Решение: Упростим каждую дробь отдельно. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \frac{4(\sqrt{11}-2)(\sqrt{7}-\sqrt{11})}{(\sqrt{7}+\sqrt{11})(\sqrt{7}-\sqrt{11})} = -\sqrt{77} + 11 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{11} \] Для второй дроби аналогично: \[ \frac{4(\sqrt{7}+1)(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \sqrt{77} +7 + \sqrt{11} + \sqrt{7} \] Сложив результаты и упростив, получим выражение: \[ 18 + 2\sqrt{7} \] Умножив на \(9 - \sqrt{7}\) и раскрыв скобки, получим ответ: \[ (18 + 2\sqrt{7})(9 - \sqrt{7}) = 148 \]
   Ответ: 148.
   
   
2. Отметьте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству: \[ \frac{xy + x - y - 4}{x^2 - 4} \;=\; 1 \]
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ \frac{-x^2 + xy + x - y}{x^2 -4} = 0 \Rightarrow (x-1)(y-x) = 0 \quad \text{и} \quad x \neq \pm2 \] Совокупность решений: \(x = 1\) и \(y = x\) исключая точки \(x = \pm2\).
   Ответ: Прямые \(x=1\) и \(y = x\) с исключением точек \((2,2)\) и \((-2,-2)\).
   
   
3. Найдите все решения уравнения: \[ n + S(n) \;=\; 2019 \]
   Решение: Пусть \(n = 2019 - S(n)\). Подходящие натуральные числа: \[ 1995 \quad \text{(сумма цифр 24)} \quad \text{и} \quad 2013 \quad \text{(сумма цифр 6)} \] Проверкой убеждаемся, что других решений нет.
   Ответ: 1995 и 2013.
   
   
4. Через какое время горящие свечи окажутся одинаковой длины?
   Решение: Пусть длины свечей \(5k\) и \(7k\). Скорости сгорания: \(k\) (короткая) и \(2k\) (длинная) в час. Решим уравнение для времени \(t\): \[ 5k -kt = 7k - 2kt \Rightarrow t = 2 \]
   Ответ: через 2 часа.
   
   
5. Найдите наибольшее возможное количество дробей с целыми значениями.
   Решение: Максимальное количество достигается использованием пар вида \((\frac{2k}{k})\), где \(k\) от 1 до 15. Всего 15 дробей.
   Ответ: 15.
   
   
6. Решите пункты а) и б) для данных уравнений:
   а) Пример уравнений: \[ x^2 - 2019x + 2018 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 - 2019x + 4036 = 0 \]
   б) Доказательство: Пусть корни целые. Если предположить, что все корни четные, то \(q\) и \(q + 2018\) были бы четными, но \(2018\) — четное, противоречие.
   Ответ: хотя бы один нечетный корень.
   
   
7. Угол \(BCD\) пятиугольника \(ABCDE\):
   Решение: Правильный пятиугольник имеет угол \(108^\circ\), что соответствует равномерному распределению вершин на окружности.
   Ответ: \(108^\circ\).
   
   
8. Могут ли отрезки \(BN\) и \(DM\) быть параллельны?
   Решение: Рассмотрим частный случай прямоугольной трапеции с пропорциональными сторонами. Средние линии могут быть параллельны при определенных условиях.
   Ответ: Да.
   
   
9. Найдите длину \(MR\) треугольника \(ABC\):
   Решение: Треугольники \(ACB\) и \(MRB\) подобны. Используя свойство серединной линии, получаем: \[ MR = \frac{AC}{2} = 3{,}5 \]
   Ответ: 3,5.