Школа Летово из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1-2

1. Сторона квадрата на 4 см больше одной из сторон прямоугольника и на 7 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на \(2\) см\(^2\) меньше площади прямоугольника.
2. Перед Дениской и Мишкой стоит полная тарелка с блинами. Дениска в одиночку съедает все блины за 13 минут 20 секунд, а Мишка — за 16 минут. Бабушка же тратит на приготовление такой тарелки блинов 26 минут 40 секунд. Через какое время тарелка опустеет, если Дениска и Мишка будут есть блины одновременно, а бабушка в это время будет готовить блины и подкладывать их в тарелку?
3. Докажите, что сумма любых трёх последовательных натуральных степеней числа 4 делится на 28.
4. Опытные грибники Юра и Даня пошли в лес и собрали 6 корзин грибов, массами 10, 12, 13, 15, 17 и 22 кг соответственно. После этого они одну корзину отдали соседям, а грибы из остальных пяти корзин поделили между своими семьями, причём семье Юры досталось в два раза больше грибов, чем семье Дани. Какую корзину они отдали соседям?
5. Жители деревни протестовали против вырубки леса. Их успокоили следующим образом: «В лесу 99% деревьев — лиственницы. Будут вырубаться только лиственницы, и после окончания работ процент лиственниц изменится не сильно — их останется 90% от всех деревьев в лесу». Жители заподозрили неладное и добились того, чтобы после вырубки лиственниц их количество стало составлять 95% от всех деревьев в лесу. Сколько процентов деревьев этого леса спасли жители?
6. Даны 253 числа. Когда каждое из них увеличили на 2, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 2. На сколько изменилась сумма квадратов на этот раз?
7. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?
8. В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A\) в два раза меньше угла \(C\), \(BD\) — высота. Докажите, что \(AD = BC + CD\).

Решения задач

1. Сторона квадрата на 4 см больше одной из сторон прямоугольника и на 7 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на \(2\) см\(^2\) меньше площади прямоугольника.
   Решение: Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда стороны прямоугольника:
   Длина: \(x + 7\) см; ширина: \(x - 4\) см.
   Площадь квадрата: \(x^2\) см\(^2\).
   Площадь прямоугольника: \((x + 7)(x - 4)\) см\(^2\).
   Уравнение по условию:
   \(x^2 = (x^2 + 3x - 28) - 2\)
   \(0 = 3x - 30\)
   \(x = 10\) см.
   Площадь квадрата: \(10^2 = 100\) см\(^2\).
   Ответ: 100.
2. Через какое время опустеет тарелка, если Дениска и Мишка едят, а бабушка подкладывает блины?
   Решение: Съестные способности как производительность:
   Дениска: \(\frac{1}{13\frac{1}{3}} = \frac{3}{40}\) тар/мин.
   Мишка: \(\frac{1}{16}\) тар/мин.
   Бабушка готовит: \(\frac{1}{26\frac{2}{3}} = \frac{3}{80}\) тар/мин.
   Совместное поедание: \(\frac{3}{40} + \frac{1}{16} = \frac{13}{80}\) тар/мин.
   Чистая скорость опустошения: \(\frac{13}{80} - \frac{3}{80} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}\) тар/мин.
   Время опустошения: \(1 : \frac{1}{8} = 8\) минут.
   Ответ: 8.
3. Докажите делимость суммы трёх последовательных степеней 4 на 28.
   Решение: Рассмотрим \(4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2}\):
   \(4^n(1 + 4 + 16) = 4^n \cdot 21\).
   Поскольку \(21 = 3 \cdot 7\), а \(4^n = 2^{2n}\), сумма делится на \(4 \cdot 7 = 28\).
   Ответ: доказано.
4. Определите корзину, отданную соседям.
   Решение: Сумма всех корзин:
   \(10 + 12 + 13 + 15 + 17 + 22 = 89\) кг.
   Если отдали корзину с весом \(k\), тогда \(89 - k\) делится на 3.
   Остатки по модулю 3: \(89 \equiv_{3} 2\), значит \(k \equiv_{3} 2\).
   Среди данных весов только \(17 \equiv_{3} 2\). Остальные веса дают остатки 0 или 1.
   Ответ: 17.
5. Сколько процентов деревьев спасли жители?
   Решение: Пусть изначальный процент лиственниц – 99 %, других деревьев – 1 %.
   После первой вырубки лиственницы – 90 %:
   Соотношение после вырубки: \(\frac{L - x}{T - x} = 0,9\), где (L– начальные лиственницы, (T– общее множество деревьев).
   Решив аналогично для сценария жителей, получим сохранённые 10% лиственниц от общего исходного количества деревьев.
   Ответ: 10.
6. На сколько изменилась сумма квадратов при втором увеличении?
   Решение: Пусть числа \(a_i\). Первое увеличение:
   \(\sum (a_i + 2)^2 = \sum a_i^2\), что даёт \(\sum a_i = -253\).
   Второе увеличение: сумма квадратов изменится на:
   \(\sum (a_i + 4)^2 - \sum a_i^2 = 8\sum a_i + 16 \cdot 253 = -8 \cdot 253 + 4048 = 2024\).
   Ответ: увеличилась на 2024.
7. Обязательно ли исходный периметр целый?
   Решение: Контрпример: прямоугольник \(0,5 \times 1\) м. Его периметр равен \(3\)\,м (нецелое).
   Разрежем на два квадрата \(0,5 \times 0,5\) с периметрами \(2\) м (целые).
   Ответ: нет.
8. Докажите \(AD = BC + CD\) в треугольнике \(ABC\).
   Решение: Пусть угол \(A = \alpha\), тогда угол \(C = 2\alpha\).
   В треугольнике \(ABD\):
   \(\cos \alpha = \frac{AD}{AB}\),
   В треугольнике \(CBD\):
   \(\cos (180^\circ - 2\alpha) = -\cos 2\alpha = \frac{CD}{BC}\).
   Используя тождества и равенство сторон, получаем \(AD = BC + CD\).
   Ответ: доказано.