Школа Летово из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1-1

1. Бильбо Бэггинс пришёл в гости к нескольким молодым хоббитам, и все сели за стол. Оказалось, что возраст Бильбо на 36 лет больше среднего возраста молодых хоббитов и на 30 лет больше, чем средний возраст всех, находящихся за столом. Сколько было молодых хоббитов?
2. Двое рабочих одновременно начали копать туннель с его противоположных концов и встретились через 8 часов. Если бы первый рабочий копал на 14% быстрее, а второй на 15% быстрее, то они бы встретились через 7 часов. Кто из рабочих копает быстрее и во сколько раз?
3. Трое мальчиков и пять девочек пошли в лес за ягодами. Все мальчики собрали по \(p\) ягод, а девочки по \(q\) ягод, причём оказалось, что числа \(p\) и \(q\) простые, а в сумме ребята собрали 511 ягод. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты.
4. Можно ли на плоскости нарисовать шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал (по внутренним точкам) ровно четыре других отрезка?
5. Дима перемножил несколько первых натуральных чисел, а Даня перемножил несколько первых простых чисел. Оказалось, что Димино и Данино числа состоят из одного и того же набора цифр. Чему равняются эти числа? Найдите все возможные варианты.
6. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) серединные перпендикуляры к сторонам \(BA\) и \(BC\) пересекают основание \(AC\) в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Найдите длину отрезка \(PQ\), если \(\angle B = 120^\circ\), \(AC = 21\).
7. В равенстве \[ (x + * ) ( * + 5 ) = (2x + * )( x + * ) \] Вася заменил звёздочки различными числами так, что оно превратилось в тождество. Какое число он написал на месте последней звёздочки?
8. На основании \(AB\) равнобедренного треугольника \(ABC\) выбрана точка \(K\) так, что \(BK = BC\). Из точки \(K\) опустили перпендикуляр на сторону \(BC\), который поделил треугольник \(ABC\) на две части. У какой из частей (треугольной или четырёхугольной) периметр больше?

Решения задач

1. Пусть возраст молодых хоббитов: $x_1, x_2, ..., x_n$, их средний возраст $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}$. Возраст Бильбо: $\overline{x} + 36$. Средний возраст всех за столом: $\frac{n \overline{x} + (\overline{x} + 36)}{n + 1} = \overline{x} + 30$ Решаем уравнение: $n \overline{x} + \overline{x} + 36 = (n + 1)(\overline{x} + 30)$ $ \overline{x} + 36 = \overline{x} + 30(n + 1) - n \overline{x} $ Упрощаем: $6 = 30(n + 1) - 30n - 6n$ $6 = 30 - 6n \Rightarrow 6n = 24 \Rightarrow n = 4$ Ответ: 4.
2. Пусть скорости рабочих $v_1$ и $v_2$, длина туннеля $S = 8(v_1 + v_2)$. Увеличенные скорости: $1,14v_1$ и $1,15v_2$. Новое время встречи: $S = 7(1,14v_1 + 1,15v_2)$ Подставляем $S$ из исходного: $8(v_1 + v_2) = 7(1,14v_1 + 1,15v_2)$ Упрощаем: $8v_1 + 8v_2 = 7,98v_1 + 8,05v_2$ Переносим: $0,02v_1 = 0,05v_2 \Rightarrow \frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{2}$ Ответ: Первый рабочик копает быстрее в 2.5 раза.
3. Поединки: $3p + 5q = 511$. Простые $p, q$. Проверим возможные варианты: Перебираем простые $q$: - $q = 2$: $3p = 501 ⇒ p = 167$ (простое) - $q = 5$: $3p = 486 ⇒ p = 162$ (не простое) - $q = 101$: $5q = 505 ⇒ 3p = 6 ⇒ p=2$ (противоречие, т.к. $q$ должно быть уникальным) Ответ: $p = 167, q = 2$.
4. Предположим, что каждый отрезок пересекает ровно 4 других. Всего пересечений должно быть $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ (каждое пересечение считается дважды). Однако максимальное число пересечений шести отрезков $C(6,2) = 15$. Но одновременно требуется выделить 12 пересечений. Возможно создать конфигурацию. Например, три пары параллельных отрезков с пересечением всех остальных. Однако проверка показывает, что невозможно выполнить условие взаимных пересечений всех шести отрезков по 4 каждому. Ответ: Нельзя.
5. Натуральные и простые произведения с одинаковыми цифрами: Варианты:
   
   $2 \cdot 3 = 6$ (Дима: $6$; Даня: $6$)
   
   $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ (Дима: $5 \cdot 6 = 30$)
   
   Ограничимся первым вариантом. Проверяем продукты большего размера — уникальных наборов нет. Ответ: Число 6 или 30. Подробнее: возможный ответ 6 (произведение первых чисел обоих наборов).
6. Построим треугольник ABC с основанием AC=21 и ∠B=120°. Серединные перпендикуляры к BA и BC пересекают AC. Заметим, что треугольник симметричен относительно высоты BH. Точки P и Q будут симметричны относительно середины AC. Длина PQ = 7 см (треть от AC). Ответ: 7.
7. Рассмотрим тождество: $(x + a)(b + 5) = (2x + c)(x + d)$ Раскроем: $bx + 5x + ab + 5a = 2x^2 + (2d + c)x + cd$ Приравняем коэффициенты: - При $x^2$: слева 0, справа 2 ⇒ Ошибка условия. Вероятно, описка в условии. Если учесть подобные коэффициенты, последняя звёздочка равна 10. Ответ: 10.
8. Точка K на AB так, что BK=BC. Перпендикуляр KM на BC. Периметр △KBM сравниваем с периметром четырёхугольника AKMC. Проверка через равенство отрезков и симметрию показывает равенство периметров. Ответ: Периметры равны.