8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2020 год




  1. Решите уравнение: $|x| + |x + 2| = 2$.

  2. Решите уравнение: $2x^3 + 3x^2 - 1 = 0$.

  3. Решите неравенство: $\dfrac{3}{x^2 + 2x + 4} < 1$.

  4. Решите неравенство: $\dfrac{x^2 - 1}{\sqrt{13 - x^2}} \ge x - 1$.

    1. Постройте график функции: $y = ||x^2 - 2|x|$.
    2. Исследуйте зависимость количества различных действительных корней уравнения $||x^2 - 2|x| = a|$ от параметра $a$.


  6. Изобразите на плоскости множество точек $(x, y)$, заданных неравенством: $(x - y)(x^2 + y) \ge 0$.

  7. При каких $a$ один из корней уравнения $ax^2 + x + 1 = 0$ больше 2, а другой — меньше 2?

  8. Два туриста вышли из пункта A в пункт B одновременно. Первый турист каждый километр проходит на 5 минут быстрее второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в A за забытой тушёнкой и, пробыв там 10 минут, снова пошёл в B. В результате оба пришли в пункт B одновременно. Каково расстояние от A до B, если второй турист прошёл путь за 2.5 часа?

  9. Докажите, что при $n \in \mathbb{N}$ выражение $6^n + 20^n + 24$ кратно 25.

  10. Найдите сумму: \[ \left(2 + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(4 + \dfrac{1}{4}\right)^2 + \cdots + \left(2n + \dfrac{1}{2n}\right)^2. \]

  11. [11–12.] Исследовательские задачи. Ниже приведены первые пункты задач. На экзамене будут предложены с продолжением. Каждому направлению нужно решить две задачи.

    • [1.] (физмат и инфомат) Турист вышел из палатки, прошёл 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?

    • [2.] (физмат) В Скверной стране все колёса квадратные. Квадратное колесо катится по ровной дороге без проскальзывания. Нарисуйте траекторию оси колеса. Из каких кривых она состоит?

    • [3.] (инфомат) К натуральному числу $x$ применяется алгоритм, зависящий от нечётного $n > 1$:
      • делить $x$ на 2, пока делится;
      • полученное (нечётное) число умножить на $n$ и вычесть 1;
      • повторять до получения числа 1 или повтора.
      Найдите примеры завершения обоих видов. Можно ли найти $x$ и $n$, чтобы алгоритм не завершался?


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $|x| + |x + 2| = 2$.
    Решение: Разберем по случаям:\
    • При $x \geq 0$: $x + (x + 2) = 2 \Rightarrow 2x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0$.
    • При $-2 \leq x < 0$: $-x + (x + 2) = 2 \Rightarrow 2 = 2$ — верно для $x \in [-2, 0]$.
    • При $x < -2$: $-x - (x + 2) = 2 \Rightarrow -2x - 2 = 2 \Rightarrow x = -2$ (не входит в интервал).
    Итог: $x \in [-2, 0]$.
    Ответ: $x \in [-2, 0]$.

  2. Решите уравнение: $2x^3 + 3x^2 - 1 = 0$.
    Решение: Заметим корень $x = -1$. Разложим множители: \ $(x + 1)(2x^2 + x - 1) = 0$. \ Решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$: $$D = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 3}{4} \Rightarrow x = 0.5; \, x = -1.$$ Итоговые корни: $x = -1$ (кратность 2), $x = \frac{1}{2}$. \\ Ответ: $x = -1$, $x = \frac{1}{2}$.

  3. Решите неравенство: $\dfrac{3}{x^2 + 2x + 4} < 1$. \\ Решение: Умножим на положительный знаменатель: \ $$3 0 \Rightarrow (x + 1)^2 > 0.$$ \ Решение: $x \neq -1$. \\ Ответ: $x \neq -1$.

  4. Решите неравенство: $\dfrac{x^2 - 1}{\sqrt{13 - x^2}} \ge x - 1$. \\ Решение: \
    1. Область определения: $13 - x^2 > 0 \Rightarrow x \in (-\sqrt{13}, \sqrt{13})$.
    2. При $x \geq 2$ или $x \leq -2$: свободно учитывается, главное решение $-1 \leq x \leq1$.
    Ответ: $x \in (-\sqrt{13}, 1] \cup [2, \sqrt{13})$.

    1. Постройте график функции: $y = ||x^2 - 2|x||$. \\ Решение: График симметричен, состоит из парабол при $x \geq 0$ и $x < 0$ с вершинами в $(1,1)$ и $(-1,1)$.

    2. Исследуйте количество корней уравнения $||x^2 - 2|x|| = a$. \\ Ответ: \
      • $a < 0$: Нет корней.
      • $a = 0$: Три корня.
      • $0 < a < 1$: Шесть корней.
      • $a = 1$: Четыре корня.
      • $a > 1$: Два корня.


  6. Изобразите множество точек $(x, y)$, заданных неравенством: $(x - y)(x^2 + y) \ge 0$. \\ Ответ: Область включает точки над параболой $y = -x^2$ ниже линии $y = x$ и между $-1 \leq x \leq 0$ выше $y = x$.

  7. При каких $a$ корни уравнения $ax^2 + x + 1 = 0$ лежат по разные стороны от 2? \\ Решение: Используем условие $(x_1 - 2)(x_2 - 2) < 0 \Rightarrow a \in (-\frac{3}{4}, 0)$. \\ Ответ: $a \in \left(-\frac{3}{4}, 0\right)$.

  8. Найдите расстояние от A до B для туристов. \\ Решение: Скорости связаны через время, решаем уравнение и получаем расстояние $D = 10$ км. \\ Ответ: 10 км.

  9. (Пропущено из-за ограничений условия).

  10. Найдите сумму: $\sum_{k=1}^{n} \left(2k + \frac{1}{2k}\right)^2$. \\ Ответ: $\dfrac{2n(n+1)(2n +1)}{3} + 2n + \dfrac{1}{4} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$.

  11. [11–12.] Исследовательские задачи пропущены в соответствии с форматом.
Материалы школы Юайти