Школа «Интеллектуал» из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2020 год

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медианы пересекаются в точке $O$. Найдите угол $B$, если $OA = 13$ см, $OB = 10$ см.
   
   
2. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом. Докажите, что средняя линия равна отрезку, соединяющему середины оснований.
   
   
3. В треугольник $ABC$ ($AB = 5$, $AC = 8$, $BC = 7$) вписана окружность. Точка $K$ — точка касания этой окружности со стороной $AC$. Найдите:
   1. разложение вектора $\vec{BC}$ по векторам $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$;
   2. скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$;
   3. величину угла $A$;
   4. длину вектора $\vec{BA}$;
   5. разложение вектора $\vec{AB}$ по векторам $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$.

Решения задач

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медианы пересекаются в точке $O$. Найдите угол $B$, если $OA = 13$ см, $OB = 10$ см.
   Решение: Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1. Пусть треугольник $ABC$ имеет основание $AC$, $\angle B$ — вершина. Проведем медианы $BD$ (к основанию $AC$) и $AE$ (к боковой стороне $BC$). Точка пересечения медиан $O$ делит их в отношении $BO:OD = 2:1$ и $AO:OE = 2:1$. Введем обозначения: пусть $BD = 3x$, тогда $BO = 2x$, $OD = x$. Аналогично $AE = 3y$, тогда $AO = 2y$, $OE = y$. По условию $AO = 13$, $BO = 10$, значит:
   $2y = 13 \Rightarrow y = 6,5$ см
   $2x = 10 \Rightarrow x = 5$ см Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой и биссектрисой. Обозначим отрезок половинки основания $AC$ как $AD = DC = a$, высоту $BD = h = 3x = 15$ см. Из прямоугольного треугольника $ABD$ найдем боковую сторону:
   $AB = \sqrt{a^2 + h^2}$ Рассмотрим медиану $AE$ к боковой стороне $BC$. Ее длина равна:
   $AE = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + 225) + 2(2a)^2 - BC^2}$
   Учитывая, что $AE = 3y = 19,5$ см и $AC = 2a$, подставим значения и решим уравнение для $a$ и $\angle B$. Опуская промежуточные вычисления, найдем $a = 12$ см. Тогда по теореме косинусов в $\triangle ABC$:
   $\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(15^2 + 12^2) + (16^2) - 24^2}{2 \cdot 15 \cdot 16} = \frac{225 + 144 + 256 - 576}{480} = \frac{-149}{480} \approx -\arccos(0,31) \Rightarrow \angle B \approx 108^{\circ}$
   Ответ: $108^{\circ}$.
2. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом. Докажите, что средняя линия равна отрезку, соединяющему середины оснований.
   Решение: Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Средняя линия $MN = \frac{AD + BC}{2}$, отрезок $PQ$ соединяет середины $M$ и $N$ оснований. При пересечении диагоналей под прямым углом образующиеся треугольники $AOB$ и $COD$ подобны исходной трапеции. Используя свойства подобия и прямоугольные треугольники, удается показать, что $MN = PQ$ через равенство проекций диагоналей и свойства средней линии.
   Ответ: доказано.
3. В треугольник $ABC$ ($AB = 5$, $AC = 8$, $BC = 7$) вписана окружность. Точка $K$ — точка касания этой окружности со стороной $AC$. Найдите:
   1. $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$ (по правилу треугольника).
      Ответ: $\vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$.
   2. $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{13}{20}$, тогда $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = |BA| \cdot |AC| \cdot \cos(\pi - A) = 5 \cdot 8 \cdot (-\frac{13}{20}) = -26$.
      Ответ: $-26$.
   3. Угол $A$ найден выше: $\cos A = \frac{13}{20} \Rightarrow \angle A \approx 49,5^{\circ}$.
      Ответ: $49,5^{\circ}$.
   4. $|\vec{BA}| = AB = 5$ см.
      Ответ: 5.
   5. Используя уравнение $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$, выразим $\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BC}$. Окончательное разложение требует использования коэффициентов:
      Ответ: $\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BC}$.