8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ИНТЕЛЛЕКТУАЛ КЕМГУ


2019 год


Вариант 1



  1. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного треугольника, и окружностью, вписанной в него, равна \(\pi\). Найдите сторону треугольника.
  2. Изобразите на плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению \[ y\,(x + 2) = x^2 - 4. \]
  3. Докажите тождество: \[ \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x = 1. \]
  4. Три спутника выведены на околоземную орбиту, по которой они вращаются с постоянными скоростями. Когда первый спутник сделал несколько оборотов, он на 80 оборотов обогнал второй и на 100 оборотов — третий. Сколько оборотов сделал первый спутник, если второй спутник, сделав такое же количество оборотов, как и первый, обогнал третий на 25 оборотов?
  5. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой \(b_2 = -6\), \(b_5 = 48\) и \(b_7 = 192\)?
  6. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответственно \(m\) и \(n\) кг, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
  7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника.
  8. Садовник должен рассадить деревья, число которых меньше 1000. Если он посадит их рядами по 37 штук, у него останется 8 лишних деревьев; если же он посадит по 43 дерева в ряд, у него останется 11 лишних деревьев. Сколько деревьев должен рассадить садовник?
  9. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в «семёрку», «восьмёрку» и «девятку», если выстрелов в «десятку» было четыре, а других попаданий и промахов не было?
  10. Баба Яга и Кощей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кощея. Когда Баба Яга отдала Кощею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кощея. Докажите, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного треугольника, и окружностью, вписанной в него, равна \(\pi\). Найдите сторону треугольника.
    Решение: Радиус вписанной окружности \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), радиус описанной окружности \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Площадь кольца: \[ \pi R^2 - \pi r^2 = \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{9} - \frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) = \pi \cdot \frac{a^2}{4}. \] Уравнение \(\frac{\pi a^2}{4} = \pi\) дает \(a = 2\).
    Ответ: 2.

  2. Изобразите на плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению \(y(x + 2) = x^2 - 4\).
    Решение: Преобразуем уравнение: \[ y(x + 2) = (x - 2)(x + 2) \implies \begin{cases} y = x - 2, & x \neq -2, \\ x = -2, & y \text{ — любое}. \end{cases} \] График — прямая \(y = x - 2\) с добавленной вертикальной прямой \(x = -2\).
    Ответ: Объединение прямой \(y = x - 2\) и вертикали \(x = -2\).

  3. Докажите тождество: \(\sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x = 1\).
    Решение: Используем формулу суммы кубов: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((1 - \cos^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x. \] Тогда \(\sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x = 1\).
    Ответ: Тождество доказано.

  4. Три спутника... Сколько оборотов сделал первый спутник?
    Решение: Пусть первый спутник сделал \(N\) оборотов. Тогда: \[ \frac{N}{N - 80} = \frac{N}{N - 25} \cdot \frac{N - 80}{N - 100}. \] Решая уравнение \((N - 80)(N - 25) = N(N - 100)\), получаем \(N = 400\).
    Ответ: 400.

  5. Существует ли геометрическая прогрессия с \(b_2 = -6\), \(b_5 = 48\), \(b_7 = 192\)?
    Решение: Знаменатель \(q = -2\), проверяем: \[ b_5 = b_2 q^3 = -6 \cdot (-8) = 48, \quad b_7 = b_5 q^2 = 48 \cdot 4 = 192. \]
    Ответ: Существует, \(q = -2\).

  6. Сколько весил каждый из отрезанных кусков сплава?
    Решение: Пусть отрезали \(k\) кг. Условие равенства концентраций после смешения дает: \[ k = \frac{mn}{m + n}. \]
    Ответ: \(\frac{mn}{m + n}\).

  7. Найдите периметр прямоугольного треугольника с радиусом вписанной окружности 2 см и суммой катетов 17 см.
    Решение: Радиус вписанной окружности \(r = \frac{a + b - c}{2} = 2\). При \(a + b = 17\) находим \(c = 13\). Периметр: \(17 + 13 = 30\).
    Ответ: 30 см.

  8. Сколько деревьев должен рассадить садовник?
    Решение: \(N = 37k + 8\), \(N \equiv 11 \pmod{43}\). Решая \(37k \equiv 3 \pmod{43}\) методом обратного элемента, получаем \(k = 21\), \(N = 785\).
    Ответ: 785.

  9. Сколько попаданий было в «семёрку», «восьмёрку», «девятку»?
    Решение: Уравнения: \[ \begin{cases} x + y + z = 6, \\ 7x + 8y + 9z = 50. \end{cases} \] Решения: \((2, 0, 4)\), \((1, 2, 3)\), \((0, 4, 2)\).
    Ответ: Возможные варианты: 2,0,4 или 1,2,3 или 0,4,2.

  10. Докажите, что у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
    Решение: Пусть у Яги \(x\) мухоморов, минимальное число крапинок \(k\). После обмена: \[ \frac{13S - k}{S + k} = 8 \implies 5S = 9k \implies x \leq \frac{117}{5} \approx 23{,}4. \]
    Ответ: У Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
Материалы школы Юайти