Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1-1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2024 год

1. Вычислите. Требуется только ответ. 2 балла \[ (5\sqrt{\square})^{\square} \]
   
   
2. Представьте в виде $p^n$. Требуется только ответ. 1 балл \[ \frac{p^7}{p^2} \cdot (p^4 \cdot p)^3 \]
   
   
3. Решите уравнение. Требуется только ответ. 2 балла \[ -7x^2 - 2x = 0 \]
   
   
4. Решите уравнение. Требуется только ответ. 2 балла \[ 2x^2 - 4x = \frac{4 - 8x}{2} \]
   
   
5. Представьте многочлен в стандартном виде. Требуется только ответ. 2 балла \[ (a - 2b)(a + 2b) - 2(3a + b)(a - 2b) \]
   
   
6. Требуется решение и ответ. 3 балла
   
   Баржа прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
   
   
7. Требуется только ответ. 2 балла
   
   В квадрат вписана окружность радиуса $\sqrt{\square}$. Найти площадь квадрата.
   
   
8. Требуется решение и ответ. 3 балла
   
   Длина диагонали квадрата равна 17. Найдите периметр такого квадрата, вершины которого являются серединами сторон исходного квадрата.
   
   
9. Требуется только ответ. 3 балла
   
   Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$, $BC=3$, $AD=7$, $AO=14$. Найдите $OC$.

Решения задач

1. Вычислите. Требуется только ответ.
   Ответ: $125$.
2. Представьте в виде $p^n$. Требуется только ответ.
   $\frac{p^7}{p^2} \cdot (p^4 \cdot p)^3 = p^{5} \cdot (p^5)^3 = p^{5} \cdot p^{15} = p^{20}$
   Ответ: $p^{20}$.
3. Решите уравнение. Требуется только ответ.
   $-7x^2 -2x =0$
   $-x(7x + 2) =0$
   Корни: $x=0$; $x=-\frac{2}{7}$
   Ответ: $0$ и $-\frac{2}{7}$.
4. Решите уравнение. Требуется только ответ.
   $2x^2 -4x = \frac{4-8x}{2}$
   Упростим правую часть: $\frac{4-8x}{2}=2 -4x$
   $2x^2 -4x = 2 -4x$
   $2x^2 -2 =0$
   $x^2 =1$, $x= \pm1$
   Ответ: $\pm1$.
5. Представьте многочлен в стандартном виде. Требуется только ответ.
   $(a-2b)(a+2b) -2(3a +b)(a -2b)$
   $a^2 -4b^2 -2(3a^2 -5ab -2b^2)$
   $-5a^2 +10ab$
   Ответ: $-5a^2 +10ab$.
6. Найдите скорость баржи в неподвижной воде.
   Пусть $v$ км/ч — скорость баржи в стоячей воде.
   Время против течения: $\frac{24}{v-2}$, по течению: $\frac{24}{v+2}$.
   Уравнение: $\frac{24}{v-2} - \frac{24}{v+2} =3$
   Приведем к общему знаменателю $(v-2)(v+2)$:
   $24(v+2) -24(v-2) =3(v^2-4)$
   $96 =3v^2 -12$, $3v^2=108$, $v=6$
   Ответ: $6$ км/ч.
7. Найдите площадь квадрата.
   Радиус вписанной окружности равен $\frac{s}{2}$, где $s$ — сторона квадрата. Тогда площадь квадрата $4r^2$.
   Ответ: $28$.
8. Найдите периметр квадрата, вершины которого — середины сторон исходного.
   Диагональ исходного квадрата $a\sqrt{2}=17$ $\Rightarrow$ сторона $a=\frac{17}{\sqrt{2}}$.
   Сторона нового квадрата равна $\frac{a}{\sqrt{2}}$, периметр: $4 \cdot \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=34$.
   Ответ: $34$.
9. Найдите $OC$ в трапеции $ABCD$.
   Отношение отрезков диагоналей трапеции: $\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{7}{3}$.
   При $AO=14$ получаем $OC = \frac{14 \cdot3}{7} =6$.
   Ответ: $6$.