8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2024 год




  1. Сократите дробь: \[ \frac{(9 \cdot 5)^n}{3^{2n - 1} \cdot 5^{n - 2}} \] Требуется только ответ.

  2. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 10 см, а другой — на 5 см. Найдите гипотенузу. Ответ запишите в см. Требуется только ответ.

  3. Решите неравенство: $3|x - 1| \le x + 3$ Требуется полное решение.

  4. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — 120 км/ч, третью — 110 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути. Ответ дайте в км/ч. Требуется полное решение.

  5. Два сосуда: 30 кг и 20 кг растворов. При смешении — 68% кислоты. При равных массах — 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде? Требуется полное решение.

  6. Известно, что $ab = 1$ и $(2a + b)(a + 2b) = 2019$. Найдите $a^2 + b^2$. Требуется полное решение.

  7. На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ построен правильный треугольник $ACE$. Чему равен угол $EBC$? Ответ в градусах. Требуется полное решение.

  8. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{(2k - 3)^2 + 4k^2 - 12k + 9} \] Требуется полное решение.

  9. Сколько натуральных чисел меньше 2017, не кратных 3 и не кратных 7? Требуется полное решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите дробь: \[ \frac{(9 \cdot 5)^n}{3^{2n - 1} \cdot 5^{n - 2}} \] Решение:
    Преобразуем числитель и знаменатель: \[ \frac{(3^2 \cdot 5)^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{3^{2n} \cdot 3^{-1} \cdot 5^n \cdot 5^{-2}} = 3^{1} \cdot 5^{2} = 75 \] Ответ: 75.
  2. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 10 см, а другой — на 5 см. Найдите гипотенузу. Решение:
    Пусть гипотенуза \( c \). Тогда катеты: \( c - 10 \) и \( c - 5 \). По теореме Пифагора: \[ (c - 10)^2 + (c - 5)^2 = c^2 \] Раскрываем скобки: \[ c^2 - 20c + 100 + c^2 - 10c + 25 = c^2 \] Упрощаем: \[ 2c^2 - 30c + 125 = c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 30c + 125 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 900 - 500 = 400 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{30 \pm 20}{2} \] Подходящий корень: \[ c = 25 \text{ см} \] Ответ: 25 см.
  3. Решите неравенство: \[ 3|x - 1| \le x + 3 \] Решение:
    Рассмотрим два случая:
    1. \( x \ge 1 \): \[ 3(x - 1) \le x + 3 \quad \Rightarrow \quad 3x - 3 \le x + 3 \quad \Rightarrow \quad 2x \le 6 \quad \Rightarrow \quad x \le 3 \] Тогда: \( x \in [1; 3] \).
    2. \( x < 1 \): \[ 3(1 - x) \le x + 3 \quad \Rightarrow \quad 3 - 3x \le x + 3 \quad \Rightarrow \quad -4x \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \ge 0 \] Тогда: \( x \in [0; 1) \).
    Объединение решений: \[ x \in [0; 3] \] Ответ: \([0;\ 3]\).
  4. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — 120 км/ч, третью — 110 км/ч. Найдите среднюю скорость. Решение:
    Общее расстояние примем за \( 3S \). Время движения: \[ t = \frac{S}{60} + \frac{S}{120} + \frac{S}{110} \] Находим общее время: \[ t = S\left(\frac{1}{60} + \frac{1}{120} + \frac{1}{110}\right) = S\left(\frac{22 + 11 + 12}{1320}\right) = S \cdot \frac{45}{1320} \] Средняя скорость: \[ v_{\text{ср}} = \frac{3S}{t} = \frac{3S}{S \cdot \frac{45}{1320}} = \frac{3 \cdot 1320}{45} = 88 \text{ км/ч} \] Ответ: 88 км/ч.
  5. Два сосуда: 30 кг и 20 кг растворов. При смешении — 68% кислоты. При равных массах — 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде? Решение:
    Пусть в первом сосуде \( x \) кг кислоты, во втором \( y \) кг. Составим систему: \[ \begin{cases} \frac{x + y}{50} = 0,68 \\ \frac{\frac{x}{30} \cdot 25 + \frac{y}{20} \cdot 25}{50} = 0,70 \end{cases} \] Упрощаем: \[ \begin{cases} x + y = 34 \\ \frac{5x}{6} + \frac{5y}{4} = 35 \end{cases} \] Решаем систему: \[ 10x + 15y = 210 \quad \text{и} \quad x + y = 34 \quad \Rightarrow \quad x = 18 \text{ кг} \] Ответ: 18 кг.
  6. Известно, что \( ab = 1 \) и \( (2a + b)(a + 2b) = 2019 \). Найдите \( a^2 + b^2 \). Решение: \[ (2a + b)(a + 2b) = 2019 \\ 2a^2 + 5ab + 2b^2 = 2019 \\ \] Учитывая \( ab = 1 \): \[ 2(a^2 + b^2) + 5 \cdot 1 = 2019 \quad \Rightarrow \quad 2(a^2 + b^2) = 2014 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 = 1007 \] Ответ: 1007.
  7. На диагонали \( AC \) квадрата \( ABCD \) построен правильный треугольник \( ACE \). Чему равен угол \( EBC \)? Решение:
    В квадрате диагональ \( AC = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. Треугольник \( ACE \) правильный, поэтому угол \( EAC = 60^\circ \). Точка \( E \) лежит вне квадрата. Рассмотрим треугольник \( EBC \): \[ \angle EBC = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \] Уточнение: учитывая симметрию и расположение треугольника, угол \( EBC = 135^\circ \). Ответ: 135°.
  8. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{(2k - 3)^2 + 4k^2 - 12k + 9} \] Решение:
    Упростим подкоренное выражение: \[ (2k - 3)^2 + (4k^2 - 12k + 9) = 4k^2 - 12k + 9 + 4k^2 - 12k + 9 = 8k^2 - 24k + 18 = 2(4k^2 - 12k + 9) = 2(2k - 3)^2 \] Тогда корень: \[ \sqrt{2(2k - 3)^2} = |2k - 3|\sqrt{2} \] Ответ: \( |2k - 3|\sqrt{2} \). Примечание: возможно учтена опечатка в исходной задаче.
  9. Сколько натуральных чисел меньше 2017, не кратных 3 и не кратных 7? Решение:
    Всего чисел: 2016. По принципу включений-исключений: \[ 2016 - \left\lfloor\frac{2016}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{2016}{7}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2016}{21}\right\rfloor = \\ 2016 - 672 - 288 + 96 = 1152 \] Ответ: 1152.
Материалы школы Юайти