8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2021 год




Арифметика



  1. (1 б) Укажите наибольшее простое число, делимость на которое числа 2021 надо проверить, чтобы выяснить, простое ли 2021.
    Ответ: 43

  2. (1 б) Разложите число 2021 на простые множители.
    Ответ: 43 47

  3. (3 б) Чему равны остатки от деления 2021:
    • на 11 — 8
    • на 7 — 5
    • на 13 — 6
    • на 19 — 7
    • на 17 — 15
    • на 29 — 20
    • на 23 — 20
    • на 31 — 6
    • на 41 — 12
    • на 37 — 23
    • на 43 — 0


  4. (1 б) Разложите $2^{15} - 1$ на простые множители.
    Ответ: 7 31 151

  5. (2 б) Разложите $2^{21} - 1$ на простые множители.
    Ответ: 7 7 127 337

  6. (3 б) Укажите два нетривиальных множителя числа $2^{2021} - 1$ в виде выражений.
    Ответ: $2^{43} - 1$, $2^{47} - 1$


Геометрия



Во всех задачах требуется описать полученную фигуру словами.

  1. Концы отрезков лежат на двух параллельных прямых.
    Ответ: Прямая, параллельная данным, равноудалённая от них.

  2. Отрезки параллельны диаметру окружности, а их концы лежат на окружности.
    Ответ: Диаметр окружности, перпендикулярный данному.

  3. Отрезки соединяют вершину треугольника с точками его основания.
    Ответ: Средняя линия треугольника, параллельная основанию.

  4. Отрезки соединяют боковые стороны трапеции и параллельны её основаниям.
    Ответ: Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины оснований).

  5. Отрезки имеют одинаковую длину, концы лежат на сторонах прямого угла.
    Ответ: Четверть окружности внутри угла, центр — в вершине угла.

  6. Концы отрезков лежат на двух диагоналях выпуклого четырёхугольника.
    Ответ: Параллелограмм, вершины которого — середины сторон четырёхугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Укажите наибольшее простое число, делимость на которое числа 2021 надо проверить, чтобы выяснить, простое ли 2021.
    Решение: Чтобы проверить простоту числа 2021, достаточно проверить делители до $\sqrt{2021} \approx 44,96$. Наибольшее простое число, не превышающее 44 — это 43. Проверка делимости на 43 даёт $2021 = 47 \cdot 43$.
    Ответ: 43.
  2. Разложите число 2021 на простые множители.
    Решение: Проверяя делимость на простое число 43, получаем $2021 \div 43 = 47$. Оба числа 43 и 47 являются простыми.
    Ответ: 43, 47.
  3. Чему равны остатки от деления 2021:
    Решение:
    • на 11: $2021 = 11 \cdot 183 + 8$; остаток 8.
    • на 7: $2021 = 7 \cdot 288 + 5$; остаток 5.
    • на 13: $2021 = 13 \cdot 155 + 6$; остаток 6.
    • на 19: $2021 = 19 \cdot 106 + 7$; остаток 7.
    • на 17: $2021 = 17 \cdot 118 + 15$; остаток 15.
    • на 29: $2021 = 29 \cdot 69 + 20$; остаток 20.
    • на 23: $2021 = 23 \cdot 87 + 20$; остаток 20.
    • на 31: $2021 = 31 \cdot 65 + 6$; остаток 6.
    • на 41: $2021 = 41 \cdot 49 + 12$; остаток 12.
    • на 37: $2021 = 37 \cdot 54 + 23$; остаток 23.
    • на 43: $2021 = 43 \cdot 47$; остаток 0.
  4. Разложите $2^{15 - 1$ на простые множители.}
    Решение: $2^{15} - 1 = 32767$. Проверяя деление:
    $32767 \div 7 = 4681$, далее $4681 \div 31 = 151$. Все числа 7, 31, 151 простые.
    Ответ: 7, 31, 151.
  5. Разложите $2^{21 - 1$ на простые множители.}
    Решение: $2^{21} - 1 = 2097151$. Проверяем делимость:
    $2097151 \div 7 = 299593$, далее $299593 \div 7 = 42799$ ($ошибка$). Корректный подход: использовать делимость на 127 и 337. Ответ: 7, 7, 127, 337.


    Ответ: 7, 7, 127, 337.
  6. Укажите два нетривиальных множителя числа $2^{2021 - 1$ в виде выражений.}
    Решение: Показатель 2021 раскладывается на множители: $2021 = 43 \cdot 47$. По свойствам чисел Мерсена, если показатель составной, то $2^n - 1$ делится на $2^k - 1$, где $k$ — делители $n$. Следовательно, множители: $2^{43} - 1$ и $2^{47} - 1$.
    Ответ: $2^{43} - 1$, $2^{47} - 1$.

    % Геометрия
  7. Концы отрезков лежат на двух параллельных прямых.
    Ответ: Прямая, параллельная данным параллельным прямым и равноудалённая от них.
  8. Отрезки параллельны диаметру окружности, а их концы лежат на окружности.
    Ответ: Отрезки являются диаметрами окружности, перпендикулярными исходному диаметру.
  9. Отрезки соединяют вершину треугольника с точками его основания.
    Ответ: Средняя линия треугольника, параллельная основанию (соединяет середины боковых сторон).
  10. Отрезки соединяют боковые стороны трапеции и параллельны её основаниям.
    Ответ: Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  11. Отрезки имеют одинаковую длину, концы лежат на сторонах прямого угла.
    Ответ: Множество концов отрезков образует четверть окружности с центром в вершине угла и радиусом, равным длине отрезка.
  12. Концы отрезков лежат на двух диагоналях выпуклого четырёхугольника.
    Ответ: Параллелограмм Вариньона, вершины которого являются серединами сторон четырёхугольника.
Материалы школы Юайти