Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2021 год

1. (2 б.) Разложите на множители: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$
   Ответ: $(x + y)(x - y)^2$
   
   
2. (2 б.) Вычислите при $a = -\dfrac{8}{9}$: \[ \dfrac{81a^2 + 162a + 81}{a} : \left( \dfrac{9}{a} + 9 \right) \] Ответ: 1
   
   
3. (2 б.) Вычислите: \[ \dfrac{20^{n+2}}{5^n \cdot 2^{2n+1}} \] Ответ: 1000
   
   
4. (2 б.) Упростите выражение: \[ (x^2 - 3x)(x^4 + 3x^3 + 9x^2) \] Ответ: $x^6 - 27x^3$
   
   
5. (2 б.) Число $b$ на 25% больше числа $a$, $c$ на 25% больше $b$. На сколько процентов $a$ меньше $c$?
   Ответ: 36%
   
   
6. (1 б.) Весь путь трамваем + пешком — 60 мин, полностью на трамвае — 25 мин. Сколько займёт весь путь пешком?
   Ответ: 95 мин
   
   
7. (2 б.) Решите уравнение: \[ \dfrac{(x^2 - 5x + 6)(x + 3)}{x - 2} = 0 \] Ответ: $x = -3;\ 3$
   
   
8. (1 б. + 1 б.) Дана прямая $y = -3x + 2$:
   • Уравнение параллельной ей прямой через начало координат: $y = -3x$
   • Абсциссы точек пересечения с $y = x^2$: $x = -3$ и $x = 0$
   
   
   
9. (2 б.) Укажите номера верных утверждений:
   1. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.
   2. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого — они равны.
   3. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны — он ромб.
   Ответ: Верно только (1)
   
   
10. (1 б. + 1 б. + 1 б.) В трапеции $ABCD$ вписана окружность, $AB = 12$, $\angle DAB = 30^\circ$:
    • Высота трапеции: 6
    • Радиус вписанной окружности: 3
    • Площадь трапеции: 72

Решения задач

1. Разложите на множители: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$
   Решение: Группируем слагаемые:
   $(x^3 - x^2y) - (xy^2 - y^3) = x^2(x - y) - y^2(x - y) = (x - y)(x^2 - y^2) = (x - y)(x - y)(x + y) = (x + y)(x - y)^2$
   Ответ: $(x + y)(x - y)^2$.
   
   
2. Вычислите при $a = -\dfrac{8}{9}$: \[ \dfrac{81a^2 + 162a + 81}{a} : \left( \dfrac{9}{a} + 9 \right) \] Решение:
   Числитель: $81(a + 1)^2$, знаменатель: $a$, делим на:
   $\dfrac{9(a + 1)}{a}$. Получаем:
   $\dfrac{81(a + 1)^2}{a} \cdot \dfrac{a}{9(a + 1)} = 9(a + 1)$
   При $a = -\dfrac{8}{9}$:
   $9\left(-\dfrac{8}{9} + 1\right) = 9 \cdot \dfrac{1}{9} = 1$
   Ответ: 1.
   
   
3. Вычислите: \[ \dfrac{20^{n+2}}{5^n \cdot 2^{2n+1}} \] Решение:
   Преобразуем числитель и знаменатель:
   $20^{n+2} = (2^2 \cdot 5)^{n+2} = 2^{2(n+2)} \cdot 5^{n+2}$
   Знаменатель: $5^n \cdot 2^{2n+1}$.
   Сокращаем:
   $\dfrac{2^{2n+4} \cdot 5^{n+2}}{5^n \cdot 2^{2n+1}} = 2^{3} \cdot 5^{2} = 8 \cdot 25 = 200$
   Ответ: 200. Примечание: В условии указан ответ 1000, но вычисления показывают 200.
   
   
4. Упростите выражение: \[ (x^2 - 3x)(x^4 + 3x^3 + 9x^2) \] Решение:
   Раскрываем произведение:
   $x^2(x^4 + 3x^3 + 9x^2) - 3x(x^4 + 3x^3 + 9x^2) = x^6 + 3x^5 + 9x^4 - 3x^5 - 9x^4 - 27x^3 = x^6 - 27x^3$
   Ответ: $x^6 - 27x^3$.
   
   
5. Число $b$ на 25% больше числа $a$, $c$ на 25% больше $b$. На сколько процентов $a$ меньше $c$?
   Решение:
   $b = 1,25a$, $c = 1,25b = 1,5625a$
   Разница: $c - a = 0,5625a$, процентное отношение разницы к $c$:
   $\dfrac{0,5625a}{1,5625a} \cdot 100% = 36\%$
   Ответ: 36\%.
   
   
6. Весь путь трамваем + пешком — 60 мин, полностью на трамвае — 25 мин. Сколько займёт весь путь пешком?
   Решение:
   Пусть $t$ — время пешком. Скорость трамвая $v$, пешком $u$, путь $S$.
   $S = 25v = tu$. Время комбинированного пути: $\dfrac{S}{v} + \dfrac{S}{u} = 25 + 25 \cdot \dfrac{v}{u} = 60$
   Отсюда: $\dfrac{v}{u} = \dfrac{35}{25} = \dfrac{7}{5}$. Тогда $t = \dfrac{S}{u} = 25 \cdot \dfrac{7}{5} = 35$ мин. Примечание: В условии ответ 95 мин, но логика решения требует уточнения.
   
   
7. Решите уравнение: \[ \dfrac{(x^2 - 5x + 6)(x + 3)}{x - 2} = 0 \] Решение:
   Числитель: $(x-2)(x-3)(x+3)$.
   Условие $x \neq 2$. Корни: $x = 3$, $x = -3$.
   Ответ: $x = -3;\ 3$.
   
   
8. Дана прямая $y = -3x + 2$:
   • Уравнение параллельной прямой через начало координат: $y = -3x$ (совпадает угловой коэффициент).
   • Точки пересечения с $y = x^2$:
     $x^2 = -3x \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -3$, $x = 0$.
   
   
   
9. Укажите номера верных утверждений:
   1. Верно (равенство биссектрис гарантирует равнобедренность треугольника).
   2. Ложно (угол не между сторонами).
   3. Ложно (диагонали перпендикулярны, но четырёхугольник может не быть ромбом).
   Ответ: верно только (1).
   
   
10. В трапеции $ABCD$ с вписанной окружностью:
    • Высота: $AB \sin 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$ см.
    • Радиус окружности: $\dfrac{6}{2} = 3$ см.
    • Площадь: $r \cdot (AB + CD) = 3 \cdot 24 = 72$ см$^2$ (сумма оснований равна сумме боковых сторон).