Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2015 год вариант 1-1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2015 год

Задача 1

Найдите одночлены, которые можно поставить вместо $*$ в числителе дроби \[ \dfrac{x^2 - *}{(1 + x)(3 - x)}, \] чтобы дробь можно было сократить. (Чем больше, тем лучше.)

Задача 2

1. Чему равен угол правильного пятиугольника?
   
   
2. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
   
   
3. Верно ли, что в любом правильном $n$-угольнике при $n > 4$ найдётся диагональ, параллельная стороне?
   (Правильным называется многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.)

Решения задач

1. Найдите одночлены, которые можно поставить вместо $*$ в числителе дроби \[ \dfrac{x^2 - *}{(1 + x)(3 - x)}, \] чтобы дробь можно было сократить. (Чем больше, тем лучше.)
   Решение: Дробь можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий множитель. Знаменатель раскладывается на множители $(1 + x)(3 - x)$. Для сокращения числитель должен быть кратен $(1 + x)$ или $(3 - x)$.
   
   • Если числитель делится на $(1 + x)$, подставим $x = -1$:
     $x^2 - * = (-1)^2 - * = 0 \Rightarrow * = 1$.
     Числитель: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ — сокращается с $(1 + x)$.
   • Если числитель делится на $(3 - x)\ (= - (x - 3))$, подставим $x = 3$:
     $x^2 - * = 3^2 - * = 0 \Rightarrow * = 9$.
     Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ — сокращается с $(3 - x)$.
   • Если $*$ — линейный член $-x$, числитель:
     $x^2 - (-x) = x^2 + x = x(x + 1)$ — сокращается с $(1 + x)$.
   • Если $*$ — линейный член $3x$, числитель:
     $x^2 - 3x = x(x - 3) = -x(3 - x)$ — сокращается с $(3 - x)$.
   Ответ: $* = 1$, $-x$, $9$, $3x$.
   
   
2. 1. Чему равен угол правильного пятиугольника?
      Решение: Внутренний угол правильного $n$-угольника:
      $\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = \frac{(5-2) \cdot 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$ Ответ: $108^{\circ}$.
      
      
   2. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
      Решение: Рассмотрим правильный пятиугольник с центральными углами по $72^{\circ}$ (т.к. $\frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$). Диагональ соединяет вершины через одну, образуя центральный угол $2 \cdot 72^{\circ} = 144^{\circ}$. Угол между диагональю и стороной пятиугольника равен $144^{\circ} - (2 \cdot 108^{\circ} - 144^{\circ}) = 36^{\circ}$, однако из-за симметрии золотого сечения направления диагоналей и сторон совпадают через поворот, обеспечивая параллельность.
      
      
   3. Верно ли, что в любом правильном $n$-угольнике при $n > 4$ найдётся диагональ, параллельная стороне?
      Решение: Нет. Это верно не для всех $n > 4$. Пример: правильный семиугольник ($n = 7$). При попытке выбрать диагональ, параллельную стороне, не существует целого шага $m$, для которого центральный угол диагонали $m \cdot \frac{360^{\circ}}{7}$ совпадал бы с углом стороны $\frac{360^{\circ}}{7}$, что исключает параллельность.
      Ответ: Неверно.