8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2015 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2015 год




Задача 1



Найдите одночлены, которые можно поставить вместо $*$ в числителе дроби \[ \dfrac{x^2 - *}{(1 + x)(3 - x)}, \] чтобы дробь можно было сократить. (Чем больше, тем лучше.)

Задача 2



  1. Чему равен угол правильного пятиугольника?

  2. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

  3. Верно ли, что в любом правильном $n$-угольнике при $n > 4$ найдётся диагональ, параллельная стороне?
    (Правильным называется многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.)

Задача 3



  1. В отборочном туре чемпионата мира по футболу в одной подгруппе участвовало 3 команды из 3 стран. Каждая команда провела с каждой по одному матчу. Могло ли оказаться, что каждая команда играла во всех странах, но не играла у себя на родине?
  2. В отборочном туре чемпионата мира по футболу в одной подгруппе участвовало 5 команд из 5 стран. Каждая команда провела с каждой по одному матчу. Могло ли оказаться, что каждая команда играла во всех странах, но не играла у себя на родине?
  3. Тот же вопрос для 4 команд из 4 стран.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите одночлены, которые можно поставить вместо $*$ в числителе дроби \[ \dfrac{x^2 - *}{(1 + x)(3 - x)}, \] чтобы дробь можно было сократить.
    Решение:
    Чтобы дробь можно было сократить, числитель должен делиться на один из множителей знаменателя $(1+x)$ или $(3-x)$:
    1. Если числитель делится на $(1+x)$, то при подстановке $x = -1$ числитель обращается в ноль: \[ (-1)^2 - * = 1 - * = 0 \quad \Rightarrow \quad * = 1. \]
    2. Если числитель делится на $(3-x)$, то при подстановке $x = 3$ числитель обращается в ноль: \[ 3^2 - * = 9 - * = 0 \quad \Rightarrow \quad * = 9. \]
    3. Также можно рассмотреть линейные одночлены:
      1. Пусть $* = -x$. Тогда числитель: \[ x^2 + x = x(x + 1), \] что делится на $(1+x)$.
      2. Пусть $* = 3x$. Тогда числитель: \[ x^2 - 3x = x(x - 3), \] что делится на $(3 - x)$ с учетом знака.
    Ответ: $1$, $9$, $-x$, $3x$.

    1. Угол правильного пятиугольника: \[ \text{Угол} = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ. \] Ответ: $108^\circ$.

    2. Доказательство параллельности диагонали и стороны:
      В правильном пятиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен $72^\circ$. Диагональ соединяет вершины через одну, образуя центральный угол $144^\circ$. Такой угол совпадает с углом наклона стороны соседнего сегмента, что обеспечивает параллельность.

    3. Утверждение неверно. Контрпример — правильный семиугольник ($n = 7$). Центральный угол стороны равен $\frac{360^\circ}{7} \approx 51.43^\circ$. Для диагонали углы будут кратны $102.86^\circ$, $154.29^\circ$ и т.д., что не совпадает с углами сторон.


    1. Для трёх команд (A, B, C): \[ \text{Матчи: } AB \text{ в } C,\ AC \text{ в } B,\ BC \text{ в } A. \] Каждая команда играет во всех странах, минуя свою. Ответ: Да.

    2. Для пяти команд возможно построение циклического расписания (например, матчи назначаются в третьих странах по кругу). Ответ: Да.

    3. Для четырёх команд невозможно распределить матчи так, чтобы каждая команда посетила три разные страны. Противоречие возникает из-чётного количества команд и требований баланса. Ответ: Нет.
Материалы школы Юайти