Школа «Интеллектуал» из 8 в 9 класс 2015 год вариант 1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2015 год

1. Вычислите: $(4{,}5 - 5{,}7) : 30 =$
   
   
2. Вычислите: $(1{,}25 - 1 \dfrac{1}{3}) : 2{,}4 =$
   
   
3. Разложите на множители: $x^3 + 3x^2 - 6x - 18 =$
   
   
4. Сократите дробь: $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25} =$
   
   
5. Упростите выражение: $(-0{,}5a^2b^3)^4(16a^4b^0)^3 =$
   
   
6. Плюшка и три коржика стоят 46 руб, а две плюшки и два коржика — 44 руб. Сколько стоит плюшка? Ответ:
   
   
7. Решите уравнение: $3x^2 - 15x = 0$
   Ответ:
   
   
8. Решите уравнение: $2x^2 + 3x - 4 = 0$
   Ответ:
   
   
9. Упростите выражение: $(3 - 3)^2 + 12 =$
   
   
10. Даны функции: $y = \dfrac{4}{x}$ и $y = -\dfrac{x^2}{2}$
    • Постройте оба графика на одной координатной плоскости. (пустое поле)
    • Найдите координаты точки пересечения графиков.
      Ответ:
    
    
    
11. Стоимость товара со скидкой 25% составляет 600 руб. Сколько стоит товар без скидки?
    Ответ:
    
    
12. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$. Она пересекла сторону $BC$ в точке $E$. Пусть $BE = 7$, $EC = 8$.
    • Нарисуйте чертёж. (пустое поле)
    • Найдите периметр параллелограмма.
      Ответ:
    
    
    
13. В равнобедренном треугольнике стороны равны 13, 13 и 24.
    • Найдите высоту к основанию. Ответ:
    • Найдите синус угла при основании. Ответ:
    
    
    
14. В трапеции $ABCD$ (основания $AB$ и $CD$) диагонали пересекаются в точке $O$, причём $OA = 3$, $OB = 4$, $OC = 9$.
    • Нарисуйте чертёж. (пустое поле)
    • Найдите $OD$. Ответ:
    • Пусть дополнительно $CD = 15$. Найдите $AB$. Ответ: Найдите угол $AOB$. Ответ:

Решения задач

1. Вычислите: $(4{,}5 - 5{,}7) : 30 =$
   Решение: $4{,}5 - 5{,}7 = -1{,}2$
   $-1{,}2 : 30 = -0{,}04$
   Ответ: $-0{,}04$.
   
   
2. Вычислите: $(1{,}25 - 1 \dfrac{1}{3}) : 2{,}4 =$
   Решение: Переведем дроби в удобный вид:
   $1 \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$,
   $1{,}25 = \dfrac{5}{4}$
   $\dfrac{5}{4} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{15 - 16}{12} = -\dfrac{1}{12}$
   $-\dfrac{1}{12} : 2{,}4 = -\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{5}{12} = -\dfrac{5}{144}$
   Ответ: $-\dfrac{5}{144}$.
   
   
3. Разложите на множители: $x^3 + 3x^2 - 6x - 18 =$
   Решение: Группировка членов:
   $(x^3 + 3x^2) - (6x + 18) = x^2(x + 3) - 6(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 6)$
   Ответ: $(x + 3)(x^2 - 6)$.
4. Сократите дробь: $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25} =$
   Решение: Разложим числитель и знаменатель:
   $\dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)^2} = \dfrac{x + 5}{x - 5}$
   Ответ: $\dfrac{x + 5}{x - 5}$.
5. Упростите выражение: $(-0{,}5a^2b^3)^4(16a^4b^0)^3 =$
   Решение: Возведем части в степени:
   $(-0{,}5)^4a^8b^{12} \cdot 16^3a^{12} = 0{,}0625 \cdot 4096 \cdot a^{20}b^{12} = 256a^{20}b^{12}$
   Ответ: $256a^{20}b^{12}$.
6. Плюшка и три коржика стоят 46 руб, а две плюшки и два коржика — 44 руб. Сколько стоит плюшка?
   Решение: Пусть плюшка стоит $x$ руб, коржик — $y$ руб:
   $ \begin{cases} x + 3y = 46 \\ 2x + 2y = 44 \end{cases} $
   Выразим $y$ из второго уравнения:
   $x + y = 22 \implies y = 22 - x$
   Подставим в первое:
   $x + 3(22 - x) = 46 \implies -2x = -20 \implies x = 10$
   Ответ: 10 рублей.
7. Решите уравнение: $3x^2 - 15x = 0$
   Решение: Вынесем общий множитель:
   $3x(x - 5) = 0 \implies x = 0$ или $x = 5$
   Ответ: 0; 5.
8. Решите уравнение: $2x^2 + 3x - 4 = 0$
   Решение: Дискриминант: $D = 9 + 32 = 41$
   Корни:
   $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}$
   Ответ: $\dfrac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}$.
9. Упростите выражение: $(3 - 3)^2 + 12 =$
   Решение:
   $0 + 12 = 12$
   Ответ: 12.
10. Найдите координаты точки пересечения графиков: $y = \dfrac{4}{x}$ и $y = -\dfrac{x^2}{2}$
    Решение: Приравняем функции:
    $\dfrac{4}{x} = -\dfrac{x^2}{2} \implies x^3 = -8 \implies x = -2$
    $y = \dfrac{4}{-2} = -2$
    Ответ: $(-2; -2)$.
11. Сколько стоит товар без скидки?
    Решение: 600 руб составляют 75% исходной цены:
    $600 : 0{,}75 = 800$
    Ответ: 800 руб.
12. Найдите периметр параллелограмма.
    Решение: Из свойства биссектрисы угла параллелограмма:
    $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{7}{8} \implies BC = 7 + 8 = 15$
    Периметр: $2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (7 + 15) = 44$
    Ответ: 44.
13. В равнобедренном треугольнике:
    • Высота к основанию:
      $h = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$
      Ответ: 5.
    • Синус угла при основании:
      $\sin \alpha = \dfrac{h}{13} = \dfrac{5}{13}$
      Ответ: $\dfrac{5}{13}$.
14. В трапеции $ABCD$:
    • Найдите $OD$:
      Отношение отрезков: $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
      $\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{1}{3} \implies OD = 12$
      Ответ: 12.
    • Найдите $AB$:
      $\dfrac{AB}{15} = \dfrac{1}{3} \implies AB = 5$
      Ответ: 5. Угол $AOB$:
      Ответ: $180^\circ$ (диагонали трапеции делятся пропорционально основаниям).