Школа «Интеллектуал» из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1
youit.school ©
ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"
2024 год
- Решите систему:
\[
\begin{cases}
x + y = 7 \\
x - y = 5
\end{cases}
\]
В ответе укажите произведение значений переменных $x$ и $y$.
- Раскройте скобки, приведите подобные. В ответе укажите полученный многочлен в стандартном виде:
\[
3(a - 1)^2 - 3(a - 4)(a + 5)
\]
- Разложите многочлен на множители. В ответе укажите полученные множители в стандартном виде:
\[
x^3 + 27
\]
- Внутри отрезка $AB$ взяли точку $C$ так, что $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}$.
Найдите разность длин отрезков $BC$ и $AC$, если $AB = 16$.
- В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $98^\circ$. Найдите меньший из углов между биссектрисами углов $A$ и $C$.
- Решите уравнение:
\[
6x = \dfrac{4{,}3x - 5}{0{,}7} - 1
\]
В ответе укажите значение переменной $x$.
- Цену на футболку снизили на $20\%$. После этого футболка стала стоить 400 рублей.
Сколько рублей стоила футболка до снижения цены?
- Для функции \[ y = \dfrac{3x - 1}{2} + x - 5 \] найдите координаты точки пересечения функции с осью $Ox$. В ответе запишите координаты через точку с запятой.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите систему:
\[
\begin{cases}
x + y = 7 \\
x - y = 5
\end{cases}
\]
В ответе укажите произведение значений переменных $x$ и $y$.
Решение: Сложим уравнения системы:
$x + y + x - y = 7 + 5$
$2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6$
Подставим $x = 6$ в первое уравнение:
$6 + y = 7 \quad \Rightarrow \quad y = 1$
Произведение $x \cdot y = 6 \cdot 1 = 6$
Ответ: 6.
- Раскройте скобки, приведите подобные. В ответе укажите полученный многочлен в стандартном виде:
\[
3(a - 1)^2 - 3(a - 4)(a + 5)
\]
Решение:
Раскроем квадрат и произведение:
$3(a^2 - 2a + 1) - 3(a^2 + 5a - 4a - 20)$
Упростим:
$3a^2 - 6a + 3 - 3(a^2 + a - 20)$
Раскроем скобки:
$3a^2 - 6a + 3 - 3a^2 - 3a + 60$
Сократим подобные:
$-9a + 63$
Ответ: $-9a + 63$.
- Разложите многочлен на множители. В ответе укажите полученные множители в стандартном виде:
\[
x^3 + 27
\]
Решение: Используем формулу суммы кубов:
$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$
Ответ: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$. - Внутри отрезка $AB$ взяли точку $C$ так, что $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}$.
Найдите разность длин отрезков $BC$ и $AC$, если $AB = 16$.
Решение: Пусть $AC = 3k$, тогда $BC = 5k$. По условию:
$AB = AC + BC = 3k + 5k = 8k = 16 \quad \Rightarrow \quad k = 2$
Тогда $AC = 6$ см, $BC = 10$ см. Разность:
$BC - AC = 10 - 6 = 4$
Ответ: 4. - В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $98^\circ$. Найдите меньший из углов между биссектрисами углов $A$ и $C$.
Решение: Сумма углов треугольника:
$\angle A + \angle C = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$
Углы при биссектрисах:
$\frac{\angle A}{2}$ и $\frac{\angle C}{2}$
Сумма половин углов:
$\frac{\angle A + \angle C}{2} = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ$
Угол между биссектрисами (внешний угол при вершине B):
$180^\circ - 98^\circ - 41^\circ = 41^\circ$
Ответ: $41^\circ$. - Решите уравнение:
\[
6x = \dfrac{4{,}3x - 5}{0{,}7} - 1
\]
В ответе укажите значение переменной $x$.
Решение: Умножим обе части на 0,7:
$4,2x = 4,3x - 5 - 0,7$
Перенесем переменные:
$-0,1x = -5,7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-5,7}{-0,1} = 57$
Ответ: 57. - Цену на футболку снизили на $20\%$. После этого футболка стала стоить 400 рублей.
Сколько рублей стоила футболка до снижения цены?
Решение: Новая цена составляет $80\%$ от исходной:
$\frac{400}{0,8} = 500$ рублей.
Ответ: 500. - Для функции
\[
y = \dfrac{3x - 1}{2} + x - 5
\]
найдите координаты точки пересечения функции с осью $Ox$.
В ответе запишите координаты через точку с запятой.
Решение: Находим $x$ при $y=0$:
$\frac{3x - 1}{2} + x - 5 = 0$
Умножим обе части на 2:
$3x - 1 + 2x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{11}{5} = 2,2$
Координаты точки: $(2,2; 0)$
Ответ: $2,2; 0$.
Материалы школы Юайти