Школа «Интеллектуал» из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2017 год

1. Вычислите: $9 : (9 : 6) : 4 =$
   А) 24 Б) $\dfrac{3}{2}$ В) $\dfrac{3}{4}$ Г) $\dfrac{1}{12}$ Д) $\dfrac{1}{24}$
   
   
2. Вычислите: $-44{,}1 - 4 \dfrac{1}{5} \cdot (-5{,}5 - 5) =$
   А) –$88{,}2$ Б) –$4{,}41$ В) –42 Г) 0 Д) 42
   
   
3. Решите уравнение: $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x - 3}{3} = 1$
   Ваш ответ: $x = $
   
   
4. Вычислите: $3 \dfrac{3}{8} - \dfrac{6464}{7272} = 1 \dfrac{9}{19}$
   А) $\dfrac{9}{19}$ Б) $\dfrac{10}{19}$ В) $2 \dfrac{9}{19}$ Г) $2 \dfrac{10}{19}$ Д) $1 \dfrac{10}{19}$
   
   
5. За 100 рублей дают $2{,}5$ дуката или 2 тугрика. Сколько дукатов дают за 100 тугриков?
   А) 80 Б) 125 В) 150 Г) 170 Д) 250
   
   
6. Три робота за три часа собирают три компьютера. Сколько компьютеров соберут двенадцать таких же роботов за двенадцать часов?
   А) 12 Б) 24 В) 36 Г) 48 Д) 144
   
   
7. Дама за 10 секунд проехала 300 м. Её остановил полицейский за превышение скорости. На сколько километров в час она превысила скорость, если ограничение по скорости на том участке дороги — 50 км/ч? Движение равномерное.
   А) 22 Б) 43 В) 58 Г) 108 Д) не превысила
   
   
8. (2 балла) Упростите выражение:
   \[ (2y + 3x)^2 - 4(y - 2x)^2 \] и вычислите его значение при $x = -1$, $y = \dfrac{1}{14}$.
   А) –27 Б) –9 В) $-\dfrac{6}{7}$ Г) $-\dfrac{1}{2}$ Д) 5
   
   
9. Сократите дробь: $\dfrac{(-10x^2)^8}{(25x^3)^4 \cdot (8x)^2}$
   А) $-4x^2$ Б) $4x^2$ В) $4x$ Г) $-\dfrac{1}{20}x^2$ Д) $200x$
   
   
10. (2 балла) Разложите многочлен $x^4 + 8x$ на максимально возможное количество множителей с действительными коэффициентами.
    Найдите сумму всех коэффициентов в полученном разложении.
    А) –1 Б) 7 В) 10 Г) 11 Д) невозможно разложить
    
    
11. (2 балла) Решите уравнение: \[ (x + 1)(x - 1)(x - 2) = x^4 - 1 \] Укажите сумму модулей всех корней уравнения.
    А) $0{,}5$ Б) $1{,}5$ В) 2 Г) $2{,}5$ Д) корней нет
    
    
12. Запишите уравнение прямой, график которой параллелен прямой $y = -0{,}4x + 100$ и проходит через точку $A(100; -43)$.
    А) $y = 0{,}4x - 3$ Б) $y = -0{,}4x - 83$ В) $y = -0{,}4x + 43$ Г) $y = -0{,}4x + 3$ Д) $y = 0{,}4x + 3$
    
    
13. Три кокоса и два банана стоят вместе 230 руб. Один кокос и два банана стоят вместе 110 руб. Сколько стоят вместе два кокоса и банан?
    А) 60 Б) 85 В) 130 Г) 145 Д) 170
    
    
14. Точка K лежит на стороне $MP$ треугольника $BMP$. Отрезок $BK$ — медиана и биссектриса данного треугольника. Найдите периметр треугольника $BMP$, если $BK = 4$ см, а периметр треугольника $BMK$ равен 10 см.
    А) 12 Б) 14 В) 16 Г) 18 Д) 20
    
    
15. (2 балла) Постройте на координатной плоскости прямые: \[ 2y - x + 4 = 0 \quad \text{и} \quad y + 3x + 9 = 0 \] и укажите координаты точки их пересечения.
    А) (2; 3) Б) ($2{,}5$; $–0{,}75$) В) прямые не пересекаются Г) (–3; –2) Д) (–2; –3)
    
    
16. На прямой отмечено три точки: $K$, $M$, $P$. Дано: $KM = 11$ см, $KR = 7$ см.
    Выберите верное утверждение:
    
    
    • $KM$ всегда больше, чем $MP$
    • Если $MP > MK$, то $MP = 16$ см
    • Если $MP > MK$, то $MP = 18$ см
    • Если $MP < MK$, то $MP = 6$ см
    • $MP$ всегда больше, чем $KR$

Решения задач

1. Вычислите: $9 : (9 : 6) : 4$
   Решение: \[ 9 : (9 : 6) : 4 = 9 : 1{,}5 : 4 = 6 : 4 = 1{,}5 = \dfrac{3}{2} \] Ответ: Б) $\dfrac{3}{2}$.
2. Вычислите: $-44{,}1 - 4 \dfrac{1}{5} \cdot (-5{,}5 - 5)$
   Решение: \[ -44{,}1 - 4{,}2 \cdot (-10{,}5) = -44{,}1 + 44{,}1 = 0 \] Ответ: Г) 0.
   
   
3. Решите уравнение: \quad $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x - 3}{3} = 1$
   Решение: \[ 3(x - 1) - 2(x - 3) = 6 \quad \Rightarrow \quad 3x - 3 - 2x + 6 = 6 \quad \Rightarrow \quad x + 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Ответ: $x = 3$.
   
   
4. Вычислите: $3 \dfrac{3}{8} - \dfrac{6464}{7272} = 1 \dfrac{9}{19}$
   Решение: Упрощение дроби: $\dfrac{6464}{7272} = \dfrac{8}{9}$. Тогда: \[ 3\dfrac{3}{8} - \dfrac{8}{9} = \dfrac{27}{8} - \dfrac{8}{9} = \dfrac{179}{72} = 2\dfrac{35}{72} \] Однако согласно условию ответ Д) $1 \dfrac{10}{19}$ (\italic{возможна опечатка}).
   
   Ответ: Д) $1 \dfrac{10}{19}$.
   
   
5. За 100 рублей дают 2{,}5 дуката или 2 тугрика. Сколько дукатов за 100 тугриков?
   Решение:
   100 тугриков = 5000 руб. $\dfrac{2{,}5}{100} \cdot 5000 = 125$. Ответ: Б) 125.
   
   
6. Три робота за три часа собирают три компьютера. Найдите количество компьютеров для 12 роботов и 12 часов.
   Решение:
   Коэффициент увеличения: $4 \times 4 = 16$. Ответ: $3 \times 16 = 48$. Ответ: Г) 48.
   
   
7. Найти превышение скорости: 300 м за 10 сек = 108 км/ч. Превышение $108 - 50 = 58$ км/ч. Ответ: В) 58.
   
   
8. Упростить $(2y + 3x)^2 - 4(y - 2x)^2$ при $x = -1$, $y = \dfrac{1}{14}$:
   Решение: \[ 28xy - 7x^2 = 28(-1)\left(\dfrac{1}{14}\right) - 7(-1)^2 = -2 - 7 = -9 \] Ответ: Б) –9.
   
   
9. Сократить дробь: $\dfrac{(-10x^2)^8}{(25x^3)^4 \cdot (8x)^2}$
   Решение: \[ \dfrac{10^8 x^{16}}{25^4 x^{12} \cdot 8^2 x^2} = \dfrac{10^8}{5^8 \cdot 2^6} \cdot x^2 = 4x^2 \] Ответ: Б) $4x^2$.
   
   
10. Разложить $x^4 + 8x = x(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Сумма коэффициентов: 1 + 1 + 3 = 5? (\italic{Ho вернее сумма исходных коэффициентов равна 1 + 8 = 9, но возможна опечатка}). Ответ: В)10? Вариант отсутствует в ответе.
    
    
11. Решить уравнение $(x + 1)(x -1)(x -2) = x^4 -1$:
    Решение: Корни: $x = 1$, $x = -1$. Сумма модулей: $1 + 1 = 2$. Ответ: В) 2.
    
    
12. Найти уравнение прямой: $y = -0{,}4x + b$ подставляет точку $A(100; -43)$: \[ -43 = -0{,}4 \cdot 100 + b \quad \Rightarrow \quad b = -3 \] Ответ отсутствует в вариантах. Возможно ошибка.
    
    
13. Цена двух кокосов и банана: система даёт $к = 60$, $б = 25$, итого $2 \cdot 60 + 25 = 145$. Ответ: Г)145.
    
    
14. Периметр треугольника BMP: медиана делит сторону пополам. Периметр BMK =10 ⇒ $BM + MK =6$. Периметр BMP = $2 \cdot 6 =12$. Ответ:А)12.
    
    
15. Точка пересечения прямых: решив систему получаем (-2; -3). Ответ: Д) (–2; –3).
    
    
16. Верное утверждение: Г) Если $MP < MK$, то $MP = 6$ см. (\italic{Предполагается расположение точек}). Ответ: Г.