Школа «Интеллектуал» из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1-1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2024 год

1. $3 \dfrac{6}{7} + 8{,}2$
2. $-7 \dfrac{1}{3} + 1{,}5$
3. $4{,}9 : 11 \dfrac{1}{5}$
4. $(−2{,}6 − 0{,}5) \cdot 0{,}0014 : (−0{,}62)$

2. Проценты

1. В марте Маша решала 15 задач в час. В апреле — на 20% больше. Сколько задач в час?
2. Миша собрал 102 детали — это 17% пазла. Сколько деталей в полном пазле?

3. Уравнения

1. $\dfrac{7{,}5}{3} = \dfrac{6 \dfrac{1}{4}}{x}$
2. $10 - 3y = -4 + 7y$
3. $4(3x − 7) − 2(x − 15) = 5 − 3(2x + 9)$

4. Текстовые задачи

1. Проволоку длиной 45 см поделили в отношении 1:6:8. Найдите длину самого длинного куска.
2. Рома и Ваня полют грядку. Рома — за 10 мин, Ваня — за 15 мин. За сколько минут прополют вместе?
3. Сумма двух чисел 105. Первое на 30 больше удвоенного второго. Найдите оба числа.
4. Катер по течению — $1{,}5$ ч, против — на 15 минут дольше. Скорость течения — 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Решения задач

1. 1. Вычислить: $3 \dfrac{6}{7} + 8{,}2$
      Решение: Переведём смешанное число в неправильную дробь:
      $3 \dfrac{6}{7} = \dfrac{27}{7} = 3{,}\overline{857142}$.
      Сложение в десятичных дробях:
      $3{,}\overline{857142} + 8{,}2 = 12{,}\overline{057142} = 12 \dfrac{2}{35}$.
      Ответ: $12 \dfrac{2}{35}$.
   2. Вычислить: $-7 \dfrac{1}{3} + 1{,}5$
      Решение: Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную:
      $-7 \dfrac{1}{3} + 1{,}5 = -\dfrac{22}{3} + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{44}{6} + \dfrac{9}{6} = -\dfrac{35}{6} = -5 \dfrac{5}{6}$.
      Ответ: $-5 \dfrac{5}{6}$.
   3. Вычислить: $4{,}9 : 11 \dfrac{1}{5}$
      Решение: Преобразуем смешанное число:
      $11 \dfrac{1}{5} = \dfrac{56}{5} = 11{,}2$.
      Выполним деление:
      $4{,}9 : 11{,}2 = \dfrac{49}{10} \cdot \dfrac{5}{56} = \dfrac{245}{560} = 0{,}4375$.
      Ответ: $0{,}4375$.
   4. Вычислить: $(−2{,}6 − 0{,}5) \cdot 0{,}0014 : (−0{,}62)$
      Решение: $$\begin{aligned} &(-3{,}1) \cdot 0{,}0014 : (-0{,}62) = (-0{,}00434) : (-0{,}62) \\ &= \dfrac{0{,}00434}{0{,}62} = \dfrac{434}{62000} \cdot 1000 = 0{,}007 \end{aligned}$$ $\newline$Ответ: $0{,}007$.
2. 1. В марте Маша решала 15 задач в час, в апреле — на 20% больше. $\newline$ Решение: Найдём 20% от 15 задач: $\newline$ $15 \cdot 0{,}2 = 3$. $\newline$ Новое количество задач: $15 + 3 = 18$. $\newline$Ответ: 18.
   2. Миша собрал 102 детали, что составляет 17% пазла. $\newline$ Решение: Составим пропорцию: $\newline$ $102 = 0{,}17 \cdot N \implies N = \dfrac{102}{0{,}17} = 600$. $\newline$Ответ: 600.
3. 1. Решить уравнение: $\dfrac{7{,}5}{3} = \dfrac{6 \dfrac{1}{4}}{x}$ $\newline$ Решение: Преобразуем пропорцию: $\newline$ $7{,}5 \cdot x = 3 \cdot 6{,}25 \implies x = \dfrac{18{,}75}{7{,}5} = 2{,}5$. $\newline$Ответ: $2{,}5$.
   2. Решить уравнение: $10 - 3y = -4 + 7y$ $\newline$ Решение: Перенесём переменные в одну сторону: $\newline$ $10 + 4 = 7y + 3y \implies 14 = 10y \implies y = 1{,}4$. $\newline$Ответ: $1{,}4$.
   3. Решить уравнение: $4(3x − 7) − 2(x − 15) = 5 − 3(2x + 9)$ $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} 12x - 28 - 2x + 30 &= 5 - 6x - 27 \\ 10x + 2 &= -6x - 22 \\ 16x &= -24 \implies x = -1{,}5 \end{aligned}$$ $\newline$Ответ: $-1{,}5$.
4. 1. Разделить провод длиной 45 см в отношении 1:6:8. $\newline$ Решение: Всего частей: $1 + 6 + 8 = 15$. $\newline$ Длина одной части: $\dfrac{45}{15} = 3$ см. $\newline$ Самый длинный кусок: $8 \cdot 3 = 24$ см. $\newline$Ответ: 24 см.
   2. Совместная работа Ромы и Вани. $\newline$ Решение: Совместная производительность: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{6}$ работы/мин. $\newline$ Время совместной работы: $6$ минут. $\newline$Ответ: 6 мин.
   3. Сумма чисел 105, первое на 30 больше удвоенного второго. $\newline$ Решение: Пусть второе число — $x$, тогда первое $2x + 30$. $\newline$ $2x + 30 + x = 105 \implies 3x = 75 \implies x = 25$. $\newline$ Первое число: $2 \cdot 25 + 30 = 80$. $\newline$Ответ: 25 и 80.
   4. Задача на движение катера. $\newline$ Решение: Пусть скорость катера $v$ км/ч. Расстояния при движении: $\newline$ $(v + 2) \cdot 1{,}5 = (v - 2) \cdot 1{,}75$ $\newline$ $6v + 12 = 7v - 14 \implies v = 26$ км/ч. $\newline$Ответ: 26 км/ч.