Школа «Интеллектуал» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1-1

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2021 год

Серия «В путь!»

1. (1 балл) В каком часу Вася Куролесов и Лошаков были в деревне Гадюкино?
   Ответ: в 12:00
   Решение: $18 : (5 + 4) = 2$ ч
   
   
2. (1 балл) На каком расстоянии эта деревня от Курска?
   Ответ: 8 км
   Решение: $2 \cdot 4 = 8$ км
   
   
3. (1 балл) В каком часу они были в деревне Ежово?
   Ответ: в 16:00
   Решение: $36 : 9 = 4$ ч после Гадюкино
   
   
4. (1 балл) На каком расстоянии Ежово от Карманова?
   Ответ: 6 км
   Решение: $1.5 \cdot 4 = 6$ км

Серия «Два парохода»

(3 балла) Пароходы встретились на расстоянии $a$ км от A, второй раз — на $b$ км от B.
Найти расстояние между A и B.
Ответ: $3a - b$
Решение: $3a = s + b \Rightarrow s = 3a - b$

Серия «Бутерброды»

1. (1 балл) Прямоугольный пирог. Сколькими способами можно разделить пополам?
   Ответ: Больше десяти
   Решение: через центр — бесконечно много прямых
   
   
2. (2 балла) Прямоугольный хлеб и круглая колбаса в углу. Разрезать пополам и то и другое?
   Ответ: 1
   Решение: только прямая через центры прямоугольника и круга
   
   
3. (3 балла) Прямоугольник с кругом и квадратом в разных углах. Разрезать пополам всё?
   Ответ: Разделить невозможно (если центры не лежат на одной прямой)
   Примечание: частично правильные ответы дают 1 балл

Серия «Все прямоугольники»

1. (1 балл) Площадь 12. Сколько целочисленных прямоугольников?
   Ответ: 3 (1×12, 2×6, 3×4)
   
   
2. (1 балл) Площадь 100.
   Ответ: 5 (1×100, 2×50, 4×25, 5×20, 10×10)
   
   
3. (2 балла) Площадь 1000.
   Ответ: 8 (1×1000, 2×500, 4×250, 5×200, 8×125, 10×100, 20×50, 25×40)
   
   
4. (3 балла) Площадь 1440.
   Ответ: 18
   Решение: $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$
   Число делителей: $6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$
   Учитываем только упорядоченные пары: $36 / 2 = 18$

Решения задач

1. (1 балл) В каком часу Вася Куролесов и Лошаков были в деревне Гадюкино?
   Решение: Расстояние 18 км они преодолели за $18 : (5 + 4) = 2$ часа. Выехав в 10:00, прибыли в 12:00.
   Ответ: в 12:00.
   
   
2. (1 балл) На каком расстоянии эта деревня от Курска?
   Решение: Лошаков шёл со скоростью 4 км/ч в течение 2 часов: $4 \cdot 2 = 8$ км.
   Ответ: 8 км.
   
   
3. (1 балл) В каком часу они были в деревне Ежово?
   Решение: После Гадюкино они прошли 36 км со скоростью 9 км/ч за $36 : 9 = 4$ часа. 12:00 + 4 часа = 16:00.
   Ответ: в 16:00.
   
   
4. (1 балл) На каком расстоянии Ежово от Карманова?
   Решение: Последний участок пути занял 1,5 часа при скорости 4 км/ч: $4 \cdot 1,5 = 6$ км.
   Ответ: 6 км.
   
   
5. (3 балла) Пароходы встретились на расстоянии $a$ км от A, второй раз — на $b$ км от B. Найти расстояние между A и B.
   Решение: При первой встрече суммарный путь равен $s$, при второй — $3s$. Для парохода из A: $3a = s + b$, откуда $s = 3a - b$.
   Ответ: $3a - b$.
   
   
6. (1 балл) Прямоугольный пирог. Сколькими способами можно разделить пополам?
   Решение: Любая прямая, проходящая через центр, делит пирог пополам. Таких прямых бесконечно много.
   Ответ: Больше десяти.
   
   
7. (2 балла) Прямоугольный хлеб и круглая колбаса в углу. Разрезать пополам и то и другое?
   Решение: Единственная прямая, проходящая через центры прямоугольника и круга, делит обе фигуры пополам.
   Ответ: 1.
   
   
8. (3 балла) Прямоугольник с кругом и квадратом в разных углах. Разрезать пополам всё?
   Решение: Если центры фигур не лежат на одной прямой, такой разрез невозможен.
   Ответ: Разделить невозможно.
   
   
9. (1 балл) Площадь 12. Сколько целочисленных прямоугольников?
   Решение: Пары делителей: (1×12), (2×6), (3×4).
   Ответ: 3.
   
   
10. (1 балл) Площадь 100.
    Решение: Пары делителей: (1×100), (2×50), (4×25), (5×20), (10×10).
    Ответ: 5.
    
    
11. (2 балла) Площадь 1000.
    Решение: Пары делителей: (1×1000), (2×500), (4×250), (5×200), (8×125), (10×100), (20×50), (25×40).
    Ответ: 8.
    
    
12. (3 балла) Площадь 1440.
    Решение: Факторизация $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$. Число делителей: $(5+1)(2+1)(1+1) = 36$. Упорядоченные пары: $36/2 = 18$.
    Ответ: 18.