Школа «Интеллектуал» из 6 в 7 класс 2018 год вариант 1

Кодовый замок (В этом задании достаточно указать ответ)
Паша подбирает код к замку на сундуке. Известно, что код состоит из четырёх цифр (от 0 до 9). Предлагаем вам рассмотреть несколько ситуаций:

1. Паша знает, что код начинается на 586. Сколько раз ему понадобится набирать код, чтобы наверняка открыть сундук?
   Примечание: «Наверняка» означает, что Паша не может «угадать» код, он должен суметь открыть замок даже в самом «невыигрышном» случае.
   1. Если цифры в коде не повторяются.
      
   2. Если цифры в коде могут повторяться.
      
   
   
   
2. Паша знает, что в коде встречается последовательность 957, но он не помнит, где именно. Сколько раз ему понадобится набирать код, чтобы достоверно открыть сундук?
   1. Если цифры в коде не повторяются.
      
   2. Если цифры в коде могут повторяться.
      
   
   
   
3. Паша знает, что в коде встречается последовательность 74, но он не помнит, где именно. Сколько раз ему понадобится набирать код, чтобы достоверно открыть сундук?
   1. Если цифры в коде не повторяются.
      
   2. Если цифры в коде могут повторяться.
      
   
   
   
4. Паша знает, что в коде встречаются только две цифры 5, но он не помнит, где именно. Сколько раз ему понадобится набирать код, чтобы достоверно открыть сундук, если цифры в коде могут повторяться?
   
   
   
5. Паша знает, что в коде встречаются цифры 5 и 9, но он не знает, где именно. Сколько раз ему понадобится набирать код, чтобы достоверно открыть сундук, если цифры в коде не повторяются?
   

Диагональ (в этом задании нужно привести решение и ответ)

1. На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером $3\times 5$ клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника?
   Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину. Достаточно провести диагональ и указать ответ.
   
   
   
   
   
2. А если размеры прямоугольника $3\times 6$? Достаточно провести диагональ и указать ответ.
   
   
   
   
   
3. А если размеры прямоугольника $4\times 6$? Достаточно провести диагональ и указать ответ.
   
   
   
   
   
4. Верна ли следующая гипотеза?
   Если длина прямоугольника $Д$ и ширина $Ш$ выражаются разными нечётными числами, то диагональ пересечёт $Д + Ш - 1$ клетку? (Если гипотеза верна — обоснуйте её. Если неверна — приведите опровергающий пример.) Запишите подробное решение:
   
   
5. В прямоугольнике размерами $2\times 2N$ диагональ пересечёт $2N$ клеток, где $N$ — целое число? (Если гипотеза верна — обоснуйте её. Если неверна — приведите опровергающий пример.) Запишите подробное решение:
   
   
6. Сколько клеток пересекает диагональ прямоугольника размером $A\times B$ клеток, где $A$ и $B$ — целые числа? Запишите подробное решение:

Решения задач

1. Кодовый замок:
   1. Паше нужно проверить последнюю цифру. Использованные цифры: 5,8,6. Остаётся 7 вариантов (0-9, кроме трёх указанных). Ответ: 7 попыток.
   2. При повторяющихся цифрах последняя цифра может быть любой из 10. Ответ: 10 попыток.
   3. Возможные положения последовательности 957:
      • На позициях 1-3: 7 вариантов для последней цифры (без повторений)
      • На позициях 2-4: 7 вариантов для первой цифры
      Итого 7 + 7 = 14 попыток.
   4. Для повторяющихся цифр каждое положение последовательности даёт 10 вариантов:
      • На позициях 1-3: 10 вариантов
      • На позициях 2-4: 10 вариантов
      Итого 10 + 10 = 20 попыток.
   5. Для последовательности 74 в различных положениях без повторений:
      • Позиции 1-2: 8×7 = 56 вариантов
      • Позиции 2-3: 8×7 = 56 вариантов
      • Позиции 3-4: 8×7 = 56 вариантов
      Сумма 168 попыток.
   6. При повторениях каждое положение даёт 10 вариантов, три положения: 10×3 = 30. Учитывая возможные пересечения, окончательный ответ: 20 попыток.
   7. Количество кодов с двумя пятёрками: $\binom{4}{2}×9×9 = 6×81 = 486$ попыток.
   8. Размещение 5 и 9: $\binom{4}{2}×2×8×7 = 12×56 = 672$ попыток.
   
   
   
2. Диагональ:
   1. Прямоугольник 3×5: $3+5−1=7$ клеток.
   2. Прямоугольник 3×6: $3+6−3=6$ клеток.
   3. Прямоугольник 4×6: $4+6−2=8$ клеток.
   4. Гипотеза неверна. Пример: прямоугольник 3×9. По формуле: $3+9−3=9$, по гипотезе: $3+9−1=11$.
   5. Гипотеза верна. Для прямоугольника 2×2N: $2+2N−2=2N$ клеток.
   6. Общая формула: количество пересекаемых клеток равно $A+B−\text{НОД}(A,B)$.