8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 6 в 7 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Сложность:
Дата экзамена: 2018
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2018 год




Кодовый замок (только ответ)



Паша подбирает код к замку на сундуке. Код состоит из четырёх цифр (от 0 до 9).

  1. Паша знает, что код начинается на 586. Сколько раз ему нужно ввести код?
    • Цифры не повторяются: Ответ:
    • Цифры могут повторяться: Ответ:


  2. В коде есть последовательность 957 (Паша не помнит где).
    • Цифры не повторяются: Ответ:
    • Цифры могут повторяться: Ответ:


  3. В коде есть последовательность 74 (Паша не помнит где).
    • Цифры не повторяются: Ответ:
    • Цифры могут повторяться: Ответ:


  4. В коде — ровно две цифры 5 (позиции неизвестны, повторения возможны).
    Ответ:

  5. В коде есть цифры 5 и 9 (позиции неизвестны), цифры не повторяются.
    Ответ:


\vspace{1em}

Диагональ (нужны решение и ответ)



  1. Прямоугольник $3 \times 5$. Сколько клеток пересекает диагональ?
    Ответ:

  2. Прямоугольник $3 \times 6$. Ответ:

  3. Прямоугольник $4 \times 6$. Ответ:

  4. Гипотеза: если $Д$ и $Ш$ — разные нечётные, то диагональ пересечёт $Д+Ш-1$ клеток.
    Обоснуйте или опровергните:


  5. Гипотеза: в прямоугольнике $2 \times 2N$ диагональ пересекает $2N$ клеток.
    Обоснуйте или опровергните:


  6. Общая формула: сколько клеток пересекает диагональ $A \times B$?
    Решение:
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Кодовый замок:
    1. Цифры не повторяются. Первые три цифры фиксированы (586), четвёртая — любая из 7 оставшихся. Ответ: 7.
    2. Цифры могут повторяться. Четвёртая цифра — любая из 10. Ответ: 10.


  2. Последовательность 957:
    1. Цифры не повторяются. Последовательность может начинаться на позиции 1 или 2. Для каждого случая остаётся 7 вариантов для свободной цифры. Ответ: $7 + 7 = 14$.
    2. С повторениями. Для каждого из двух положений свободная цифра — любая из 10. Ответ: $10 + 10 = 20$.


  3. Последовательность 74:
    1. Без повторений. Последовательность может занимать 3 позиции (1-2, 2-3, 3-4). Для каждого положения остальные цифры выбираются из 8 уникальных: $3 \cdot 8 \cdot 7 = 168$. Ответ: 168.
    2. С повторениями. Для каждого из трёх положений остальные цифры — любые: $3 \cdot 10 \cdot 10 = 300$. Ответ: 300.


  4. Ровно две цифры 5. Выбор позиций для пятёрок: $\binom{4}{2} = 6$. Остальные цифры — любые кроме 5: $9^2 = 81$. Итого: $6 \cdot 81 = 486$. Ответ: 486.

  5. Наличие 5 и 9 без повторений. Выбор двух других цифр из 8 оставшихся: $\binom{8}{2} = 28$. Перестановка всех четырёх цифр: $4! = 24$. Итого: $28 \cdot 24 = 672$. Ответ: 672.

  6. Диагонали прямоугольников:
    1. Прямоугольник $3 \times 5$: $3 + 5 - \text{НОД}(3,5) = 7$. Ответ: 7.
    2. Прямоугольник $3 \times 6$: $3 + 6 - \text{НОД}(3,6) = 6$. Ответ: 6.
    3. Прямоугольник $4 \times 6$: $4 + 6 - \text{НОД}(4,6) = 8$. Ответ: 8.
    4. Гипотеза опровергнута. Пример: прямоугольник $9 \times 3$ даёт $9 + 3 - 3 = 9$, а по гипотезе должно быть $11$.
    5. Гипотеза верна. Для $2 \times 2N$: $\text{НОД}(2,2N) = 2$, тогда $2 + 2N - 2 = 2N$.
    6. Общая формула: количество пересекаемых клеток равно $A + B - \text{НОД}(A,B)$.
Материалы школы Юайти