8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 6 в 7 класс 2009 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2009
Сложность:
Дата экзамена: 2009
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2009 год




Задача 1. Разрезания квадрата

  • Разрежьте квадрат на 4 квадрата.
  • Разрежьте квадрат на 16 квадратов.
  • Разрежьте квадрат на 7 квадратов.
  • Разрежьте квадрат на 10 квадратов.
  • Можно ли разрезать квадрат на 2008 квадратов? Объясните, как это можно сделать или почему нельзя. Ответ:


Задача 2. Шахматный турнир

  • В отборочном туре участвовали 4 шахматиста. Было сыграно 6 партий. Могло ли так быть, что каждый сыграл с каждым не более одного раза? Ответ:
  • В турнире участвовали 10 шахматистов. Сколько партий сыграно, если каждый играл с каждым один раз? Ответ:
  • Было сыграно 30 партий. Могло ли быть, что каждый сыграл с каждым один раз? Объясните. Ответ:
  • Сколько диагоналей у 2008-угольника? Ответ:
  • Чем задача Г похожа на предыдущие три? Ответ:


Задача 3. Числовые выражения и суммы

  • Вася заметил: сумма любых двух соседних чисел в выражении $(-2)+3+(-2)$ положительная, но сумма всех — отрицательная.
  • Можно ли составить такое выражение из пяти слагаемых? Ответ:
  • А из четырёх слагаемых? Ответ:
  • А из 2007 слагаемых? Ответ:
  • А из 2008 слагаемых? Ответ:
  • В строку записано 19 чисел. Сумма любых трёх подряд — положительна. Может ли сумма всех 19 чисел быть отрицательной? Ответ:
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разрезания квадрата

    • [А)] Разрежем квадрат на 4 равных квадрата, разделив каждую сторону пополам (разрез "решеткой 2×2").
      Ответ: Да, разрезать на 4 квадрата.

    • [Б)] Аналогично делим каждую сторону на 4 равные части. Получаем 16 равных квадратов.
      Ответ: Да, разрезать на 16 квадратов.

    • [В)] Основная идея: Использовать комбинацию квадратов разных размеров. Пример: Вырежем из угла большой квадрат, остаток разделим на 6 меньших квадратов (всего 7).
      Ответ: Да, разрезать на 7 квадратов.

    • [Г)] Аналогично В, добавив дополнительные разрезы на меньших квадратах.
      Ответ: Да, разрезать на 10 квадратов.

    • [Д)] Теорема: Квадрат можно разрезать на $N$ квадратов при $N ≥ 6$. Поскольку $2008 > 6$, можно.
      Пример: Начать с деления на 4 квадрата (пункт А). Затем последовательно делить отдельные квадраты на большее количество.
      Ответ: Да, разрезание возможно.


  2. Шахматный турнир

    • [А)] В турнире с 4 участниками максимальное количество партий без повторных встреч: $\binom{4}{2} = 6$. Условие выполнено.
      Ответ: Да, могло.

    • [Б)] Для 10 участников: $\binom{10}{2} = 45$ партий.
      Ответ: 45 партий.

    • [В)] Решим уравнение $\frac{n(n-1)}{2} = 30$. Корни: $n ≈ 8.5$, не целое. Турнир невозможен.
      Ответ: Нет, не может.

    • [Г)] Число диагоналей в $n$-угольнике: $\frac{n(n-3)}{2}$. Для $n=2008$: \begin{gather} \frac{2008 \cdot (2008 - 3)}{2} = \frac{2008 \cdot 2005}{2} = 1004 \cdot 2005 = 2013020 \end{gather} Ответ: 2 013 020 диагоналей.

    • [Д)] Все задачи связаны с подсчетом количества уникальных пар (комбинаторика): партии шахмат = рёбра в графе, диагонали = рёбра между несоседними вершинами.
      Ответ: Все задачи используют формулу $\binom{n}{2}$ или её модификации.


  3. Числовые выражения и суммы

    • [А)] Пример для пяти слагаемых: $-4,\ 5,\ -4,\ 5,\ -4$. Суммы соседей: $1,\ 1,\ 1,\ 1$ (все >0). Общая сумма: $-4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = -12 + 10 = -2 < 0$.
      Ответ: Да, можно.

    • [Б)] Пусть выражение: $a,\ b,\ c,\ d$. Если суммы пар $(a+b),\ (b+c),\ (c+d)$ >0, но $a+b+c+d 0. \end{gather} Подобрать отрицательную сумму невозможно.
      Ответ: Нет, нельзя.

    • [В)] Для $2007$ слагаемых используем шаблон: $(-a),\ (a+1),\ (-a),\ (a+1),\ \dots,\ (-a)$. При $a = 1004$: \begin{gather} \text{Cумма} = (-1004) \cdot 1004 + (1005) \cdot 1003 = -1004^2 + 1005 \cdot 1003 \end{gather} Раскроем: $-(1004^2) + (1004 + 1)(1004 - 1) = -1004^2 + 1004^2 - 1 = -1 < 0$. Все суммы пар положительны.
      Ответ: Да, можно.

    • [Г)] Для чётного $2008$ аналогичный шаблон даёт $-a \cdot 1004 + (a+1) \cdot 1004 = (1) \cdot 1004 >0$. Получить отрицательную сумму невозможно.
      Ответ: Нет, нельзя.

    • [Д)] Предположим, сумма всех 19 чисел $S 0, поэтому $S = \sum \text{групп} + число_{19} > 0 + (-k)$. Но число_{19} входит в группу $(17+18+19)$, сумма которой должна быть >0. Значит, $-k < 17 + 18 = 35$, откуда $S = (общий_сумма_групп) + (-k) ≥ (6 \cdot 2) + (-34) = 12 - 34 = -22$ (придумать невозможно без нарушения условий).
      Ответ: Нет, сумма не может быть отрицательной.
Материалы школы Юайти