Школа «Интеллектуал» из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1-2

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"

2024 год

1. [1 балл] Решите уравнение: \quad $494 + \dfrac{54 \cdot 75 - x}{25} = 569$
   Ответ: 2175
   
   
2. [2 балла] Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы получилось верное равенство:
   \[ 5* + **3 = **01 \] Звёздочки могут обозначать разные цифры.
   Ответ: $58 + 943 = 1001$
   
   
3. [2 балла] Разделите фигуру на 4 равные части.
   Замечание: две фигуры называются равными, если при наложении друг на друга получается одна и та же фигура.
   Ответ:
   
   
4. [2 балла] Звездочёт написал на доске число 456 и велел ученику получить из него число 28.
   Разрешены только следующие действия:
   • заменять число на удвоенное;
   • стирать последнюю цифру.
   Ответ:
   $456 \to 45 \to 90 \to 180 \to 360 \to 720 \to 72 \to 7 \to 14 \to 28$
   
   
5. [2 балла] Какое самое маленькое и самое большое число можно получить, выложив в ряд карточки с числами: 201, 59, 6, 49, 2, 8?
   Ответ:
   Самое маленькое: 2012495968
   Самое большое: 8659492201
   
   
6. [3 балла] Через пробоину в корабле в трюм попало 270 вёдер воды. Один насос за 3 часа выкачивает 85 вёдер, другой — 55 вёдер за 6 часов. Каждые 2 часа в трюм поступает 45 вёдер. За сколько часов вместе насосы выкачают всю воду?
   Ответ: 18 часов
   Решение:
   За 6 часов первый насос выкачивает 170 вёдер, второй — 55, поступает 135 вёдер. Итого за 6 часов выводится: $170 + 55 - 135 = 90$ вёдер.
   $270 : 90 = 3$ блока по 6 часов. Ответ: $6 \cdot 3 = 18$ часов.
   
   
7. [3 балла] Алфавит древней цивилизации состоит из 4 букв: ⧪, ↭, ↬, ↩. Слово — любая комбинация до 3 букв. Сколько таких слов?
   Ответ: 84
   Решение:
   $1$ буква: $4$ слов
   $2$ буквы: $4 \cdot 4 = 16$
   $3$ буквы: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
   Итого: $4 + 16 + 64 = 84$
   
   
8. [2 балла] Выберите кубик, соответствующий развертке.
   Ответ: В
   Решение: см. анализ расположения граней (грань с точками, диагонали и т.д.)
   
   
9. [3 балла] В классе 5э — 24 ученика. Девочка приносит по 2 кг макулатуры, мальчик — по 5 кг. Всего собрали 87 кг. Сколько мальчиков в классе?
   Ответ: 13 мальчиков.
   Решение:
   Если бы все были девочки: $24 \cdot 2 = 48$ кг
   Осталось: $87 - 48 = 39$ кг. Каждый мальчик несёт на 3 кг больше $\Rightarrow 39 : 3 = 13$ мальчиков

Решения задач

1. Решите уравнение: \quad $494 + \dfrac{54 \cdot 75 - x}{25} = 569$
   Решение:
   $494 + \frac{4050 - x}{25} = 569$
   $\frac{4050 - x}{25} = 569 - 494 = 75$
   $4050 - x = 75 \cdot 25 = 1875$
   $x = 4050 - 1875 = 2175$
   Ответ: 2175.
   
   
2. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы получилось верное равенство:
   \[ 5* + **3 = **01 \] Решение:
   Рассмотрим сумму в разрядах. В разряде единиц: * + 3 ≡ 1 (mod 10), значит * = 8. В разряде десятков: 5 + * + 1 (перенос) ≡ 0 (mod 10) ⇒ 5 + * ≡ 9 ⇒ * = 4. В разряде сотен: * + * + 1 (перенос) ≡ 0 (mod 10) ⇒ * + 9 ≡ 0 ⇒ * = 1. Проверяем:
   $58 + 943 = 1001$ ⇒ верно.
   Ответ: 58 + 943 = 1001.
   
   
3. Разделите фигуру на 4 равные части.
   Ответ: Деление на равные части возможно через симметричные разрезы либо повторами исходной формы. Конкретное решение зависит от исходной фигуры.
4. Из числа 456 получите 28 разрешёнными действиями.
   Решение:
   $456 \to 45$ (стираем 6) $\to$
   $45 \cdot 2 = 90$ $\to$
   $90 \cdot 2 = 180$ $\to$
   $180 \cdot 2 = 360$ $\to$
   $360 \cdot 2 = 720$ $\to$
   стереть 0 → 72 $\to$
   стереть 2 → 7 $\to$
   7 $\cdot$ 2 = 14 $\to$
   14 $\cdot$ 2 = 28.
   Ответ: $456 \to 45 \to 90 \to 180 \to 360 \to 720 \to 72 \to 7 \to 14 \to 28$.
   
   
5. Самое маленькое и большое число из карточек: 201, 59, 6, 49, 2, 8.
   \ Решение:
   Минимальное: сортируем по возрастанию длины и первых цифр: 2, 6, 8 (однозначные), затем 201 (самое маленькое трехзначное), 49 (среднее двухзначное), 59. Получим: 2012495968.
   Максимальное: сортируем по убыванию длины и первых цифр: 8 (однозначное), 6, 59 (двухзначные с наибольшим первым числом), 49, 201 (самое большое трехзначное). Получим: 8659492201.
   Ответ: Наименьшее — 2012495968, наибольшее — 8659492201.
   
   
6. Насосы против пробоины.
   Решение:
   За 6 часов первый насос качает $85 \cdot 2 = 170$ вёдер
   Второй — 55 вёдер
   Поступает $45 \cdot 3 = 135$ вёдер
   Чистый вывод: $170 + 55 - 135 = 90$ вёдер за 6 часов
   $270 : 90 = 3$ цикла. Общее время: $6 \cdot 3 = 18$ часов.
   Ответ: 18 часов.
   
   
7. Слова из алфавита древней цивилизации.
   Решение:
   Количество однобуквенных — 4
   Двухбуквенных — $4 \cdot 4 = 16$
   Трехбуквенных — $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
   Всего: $4 + 16 + 64 = 84$ слова.
   Ответ: 84.
   
   
8. Выбор кубика по развертке.
   Решение: При анализе видно, что грань с шестью точками противоположна грани с одной, что соответствует варианту B.
   Ответ: В.
   
   
9. Количество мальчиков в классе.
   Решение:
   Если всех предположить девочками: $24 \cdot 2 = 48$ кг
   Реальная разница: $87 - 48 = 39$ кг
   Каждый мальчик добавляет: $5 - 2 = 3$ кг
   Число мальчиков: $39 : 3 = 13$.
   Ответ: 13.