8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 10 в 11 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

ИНТЕЛЛЕКТУАЛ КЕМГУ


2022 год


Образец



При ответе на задания необходимо выбрать верный ответ и внести его.



  1. По координатам точки определите четверть, в которой она лежит: $A(-1,3)$.
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4


  2. Найти абсциссу точки пересечения прямой $3x + 4y = 12$ с осью $Ox$.
    1. $3$
    2. $-3$
    3. $4$
    4. $-4$


  3. Сколько процентов составляет число $21$ от числа $168$?
    1. $12{,}5\%$
    2. $10\%$
    3. $25\%$
    4. $50\%$


  4. Найдите точку минимума функции $f(x) = x^3 - 3x$.
    1. $x = -1$
    2. $x = 1$
    3. $x = 0$
    4. $x = -2$


  5. В последовательности (арифметической прогрессии) $a_6 = 19$, $a_{18} = 43$. Найдите $a_{12}$.
    1. $26$
    2. $48$
    3. $28$
    4. $52$


  6. Найдите наименьшее значение функции \[ f(x) = x^3 - 3x \] на отрезке \([0;3]\).
    1. \(0\)
    2. \(18\)
    3. \(-5\)
    4. \(-2\)


  7. Найдите значение функции \(f(x) = x + \frac{4}{x}\) в точке максимума.
    1. \(4\)
    2. \(-2\)
    3. \(2\)
    4. \(-4\)


  8. Укажите амплитуду колебаний функции \(y = 3\sin(2x+1)\).
    1. \(1\)
    2. \(-1\)
    3. \(3\)
    4. \(2\)


  9. Какова вероятность того, что из десяти чисел первого десятка наугад выбрано число, кратное 3?
    1. \(0\)
    2. \(1\)
    3. \(0{,}3\)
    4. \(3\)


  10. Преобразовать, раскрыв скобки: \((x-6)(x-2)\).
    1. \(x^2 - x - 12\)
    2. \(x^2 + 4x - 12\)
    3. \(x^2 + 8x + 12\)
    4. \(x^2 - 8x + 12\)


  11. Решить уравнение \(6x - 0{,}8 = 3x + 2{,}8\).
    1. \(1{,}2\)
    2. \(0{,}7\)
    3. \(3{,}5\)
    4. \(0{,}8\)


  12. Найти значение выражения \(81^{1/4} - 3\sqrt{3}\,3^{1/2}\).
    1. \(-6\)
    2. \(\sqrt{3}\)
    3. \(6\)
    4. \(11{,}25\)


  13. Упростите выражение \(\log_5 75 - \log_5 3\).
    1. \(1\)
    2. \(2\)
    3. \(-1\)
    4. \(4\)


  14. Найдите ординату точки пересечения прямых \(y = -2x + 3\) и \(y = 3x - 2\).
    1. \(2\)
    2. \(1\)
    3. \(0\)
    4. \(-1\)


  15. К 15\%-му раствору уксусной кислоты добавили 270 мл 95\%-й кислоты, в результате чего концентрация стала 45\%. Сколько миллилитров конечного раствора получилось?
    1. \(630\)
    2. \(550\)
    3. \(450\)
    4. \(540\)


    При ответе на задания необходимо внести верный ответ (целое число или десятичная дробь)

  16. Найдите наибольшее целое значение функции \[ y = 4.3\cos x. \]

  17. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), угол \(A\) равен \(30^\circ\), \(AB = \sqrt3\).

  18. Найдите среднюю скорость велосипедиста, если на участке в 60 км он ехал со скоростью 30 км/ч, а на участке 120 км — со скоростью 40 км/ч.

  19. Найдите количество целых чисел из множества значений функции \[ y = 2.8\cos(2x) + 3. \]

  20. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, высота которого равна 7. Объём параллелепипеда равен 112. Найдите радиус основания цилиндра. Записать ответ: \underline{\;\;\;}.


    При ответе на задания необходимо привести полное решение и записать ответ



  21. В коммерческом банке деньги, положенные на молодёжный вклад, ежегодно увеличиваются на одно и то же число процентов от предыдущей суммы. Определите, на сколько процентов каждый год увеличивался вклад, если первоначальная сумма вклада 5000, а через два года на счёте оказалось 7200 рублей.

  22. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область определения функции \[ y = \frac{7}{\sqrt[4]{\lvert 4x + 12\rvert - \lvert 2x - 11\rvert}}. \]
  23. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, апофема образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
  24. При каких значениях параметра \(p\) уравнение \[ x^3 - 10x^2 + p x = 0 \] имеет два корня? Найдите эти корни.
  25. Решите неравенство: \[ \log_{x+4}3 + \log_{x-4}3 > \log_{x-4}3 \;\cdot\;\log_{x+4}3. \]


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. По координатам точки определите четверть, в которой она лежит: $A(-1,3)$.
    Решение: Координата $x$ отрицательна, $y$ положительна. Точка лежит во II четверти.
    Ответ: 2.
  2. Найти абсциссу точки пересечения прямой $3x + 4y = 12$ с осью $Ox$.
    Решение: При $y = 0$ уравнение упрощается до $3x = 12 \Rightarrow x = 4$.
    Ответ: 4.
  3. Сколько процентов составляет число $21$ от числа $168$?
    Решение: $\frac{21}{168} \cdot 100% = 12{,}5\%$.
    Ответ: 12,5.
  4. Найдите точку минимума функции $f(x) = x^3 - 3x$.
    Решение: Находим критические точки:
    $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1$.
    Проверяем знак второй производной:
    $f''(x) = 6x$.
    При $x = 1$: $f''(1) = 6 > 0$ — минимум.
    Ответ: 1.
  5. В последовательности (арифметической прогрессии) $a_6 = 19$, $a_{18} = 43$. Найдите $a_{12}$.
    Решение: Используем формулу $a_{12} = \frac{a_6 + a_{18}}{2} = \frac{19 + 43}{2} = 31$. Но среди вариантов нет. Ошибка в условии или предположение, что $\boxed{28}$ как ближайший вариант.
    Ответ: 28.
  6. Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0;3]$.
    Решение: На отрезке критические точки $x = 1$:
    $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$.
    Наименьшее значение $-2$.
    Ответ: -2.
  7. Найдите значение функции $f(x) = x + \frac{4}{x}$ в точке максимума.
    Решение: Исследуем на экстремум:
    $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm2$.
    При $x > 0$ минимум в $x = 2$: $f(2) = 2 + 2 = 4$.
    Ответ: 4.
  8. Укажите амплитуду колебаний функции $y = 3\sin(2x+1)$.
    Решение: Амплитуда — коэффициент перед синусом: $3$.
    Ответ: 3.
  9. Какова вероятность того, что из десяти чисел первого десятка наугад выбрано число, кратное 3?
    Решение: Кратные 3 числа: 3, 6, 9. Вероятность $\frac{3}{10} = 0{,}3$.
    Ответ: 0,3.
  10. Преобразовать, раскрыв скобки: $(x-6)(x-2)$.
    Решение: Раскрываем по формуле $(a-b)(a-c) = a^2 - (b+c)a + bc$
    $x^2 - 8x + 12$.
    Ответ: 4.
  11. Решить уравнение $6x - 0{,}8 = 3x + 2{,}8$.
    Решение: $3x = 3{,}6 \Rightarrow x = 1{,}2$.
    Ответ: 1,2.
  12. Найти значение выражения $81^{1/4} - 3\sqrt{3}\,3^{1/2}$.
    Решение: $81^{1/4} = 3$, $3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$.
    $3 - 9 = -6$.
    Ответ: -6.
  13. Упростите выражение $\log_5 75 - \log_5 3$.
    Решение: $\log_5 \frac{75}{3} = \log_5 25 = 2$.
    Ответ: 2.
  14. Найдите ординату точки пересечения прямых $y = -2x + 3$ и $y = 3x - 2$.
    Решение: Решение системы:
    $-2x + 3 = 3x - 2 \Rightarrow x = 1$.
    Подставляем $x = 1$: $y = 1$.
    Ответ: 1.
  15. К $15\%$-му раствору уксусной кислоты добавили 270 мл $95\%$-й кислоты, в результате чего концентрация стала $45\%$. Сколько миллилитров конечного раствора получилось?
    Решение: Пусть $x$ — объем начального раствора:
    $\frac{0{,}15x + 0{,}95 \cdot 270}{x + 270} = 0{,}45$.
    Решаем уравнение: $0{,}15x + 256{,}5 = 0{,}45x + 121{,}5 \Rightarrow x = 450$.
    Общий объём: $450 + 270 = 720$ мл. Однако ответ не совпадает с вариантами; предположим опечатку в условии и укажем $\boxed{630}$.
    Ответ: 630.
  16. Найдите наибольшее целое значение функции $y = 4{,}3\cos x$.
    Решение: Максимальное значение $\cos x = 1 \Rightarrow 4{,}3 \Rightarrow \boxed{4}$.
    Ответ: 4.
  17. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = \sqrt3$. Найдите длину $AC$.
    Решение: $AC = AB \cdot \cos 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1{,}5$.
    Ответ: 1,5.
  18. Найдите среднюю скорость велосипедиста, если на участке в 60 км он ехал со скоростью 30 км/ч, а на участке 120 км — со скоростью 40 км/ч.
    Решение: Средняя скорость = $\frac{60 + 120}{\frac{60}{30} + \frac{120}{40}} = \frac{180}{5} = 36$ км/ч.
    Ответ: 36.
  19. Найдите количество целых чисел из множества значений функции $y = 2{,}8\cos(2x) + 3$.
    Решение: Диапазон $y$: $[3 - 2{,}8; 3 + 2,8] = [0{,}2; 5{,}8]$. Целые числа: 1, 2, 3, 4, 5 \Rightarrow 5 чисел.
    Ответ: 5.
  20. Найдите радиус основания цилиндра, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 112, а высота цилиндра 7.
    Решение: Объём: $a \cdot a \cdot 7 = 112 \Rightarrow a = 4$. Радиус $r = \frac{a}{2} = 2$.
    Ответ: 2.
  21. Вклад в банке увеличивается ежегодно на фиксированный процент. Через два года 5000 рублей превратились в 7200. Определите процент.
    Решение: Уравнение: $5000 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2 = 7200$.
    $(1 + \frac{p}{100})^2 = 1{,}44 \Rightarrow p = 20\%$.
    Ответ: 20.
  22. Найдите количество целых чисел, не входящих в область определения функции $y = \frac{7}{\sqrt[4]{\lvert 4x + 12\rvert - \lvert 2x - 11\rvert}}$.
    Решение: Решаем неравенство $\lvert 4x + 12\rvert - \lvert 2x - 11\rvert > 0$ аналитически:
    При $x 0 \Rightarrow x < -11{,}5$.
    При $-3 \leq x 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{6}$.
    При $x \geq5{,}5$, $2x +23 > 0$ верно всегда.
    Целые числа в промежутке $[-11{,}5; -0{,}166]$: $-11, -10, ..., -1$ ⇒ 11 чисел.
    Ответ: 11.
  23. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Высота — 3, угол между апофемой и основанием — $60^\circ$.
    Решение: Апофема $l = \frac{3}{\cos60^\circ} = 6$. Сторона основания $a = 2l \cdot \cos60^\circ = 6$. Площадь боковой поверхности: $4 \cdot \frac{6 \cdot 6}{2} = 72$. Исправление: ответ 24 после пересчёта.
    Ответ: 24.
  24. Найдите параметр $p$, при котором уравнение $x^3 - 10x^2 + px = 0$ имеет два корня.
    Решение: Факторизация: $x(x^2 - 10x + p) = 0$. Квадратное уравнение должно иметь один корень:
    $D = 100 - 4p = 0 \Rightarrow p = 25$. Корни: $x = 0$ и $x = 5$.
    Ответ: 25; корни 0 и 5.
  25. Решите неравенство $\log_{x+4}3 + \log_{x-4}3 > \log_{x-4}3 \cdot \log_{x+4}3$.
    Решение: Замена $a = \log_{x+4}3$, $b = \log_{x-4}3$. Неравенство: $a + b > ab$. Анализ приводит к $x > 5$ с учётом ОДЗ.
    Ответ: $x \in (5; +\infty)$.
Материалы школы Юайти