Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2024

11.04.2024

1. За круглым столом сидели рыцари и леди — всего 40 человек, причём у 22 из сидящих среди соседей был рыцарь, а у 30 — леди. Сколько леди сидело за столом?
   
   
2. Все компьютеры фирмы «Светофор» имеют три разъёма для проводов — красный, жёлтый и зелёный. Однажды некий миллиардер скупил все компьютеры этой фирмы и начал соединять разъёмы одинаковых цветов между собой проводами. Через некоторое время осталось три незанятых разъёма (возможно, на разных компьютерах). Докажите, что они все разного цвета.
   
   
3. На планете Зингарис существует традиция создавать символические артефакты, называемые «Гексашоды». Каждый Гексашод — это шестиугольная скульптура, где каждая грань изображает одно из уникальных изобретений мудрецов Зинга. Какое количество уникальных Гексашодов могут создать зингарийцы, если каждый Гексашод должен включать изображения 6 различных изобретений из набора из 7?
   
   
4. Дано шестизначное число $\texttt{abcdef}$, причём \( def - abc \) делится на 7. Докажите, что и само число $\texttt{abcdef}$ делится на 7.
   
   
5. Назовём числа $\emph{согласованными}$, если их НОД и НОК отличаются не более чем в 2024 раза. Рассмотрим положительную дробь \( \dfrac{m}{n} \), числитель и знаменатель которой согласованы. Докажите, что данную дробь можно представить в виде \( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \), где \( a, b, c, d \) — целые и неотрицательные, причём \( b < d \leq 45 \).
   
   
6. Длины сторон треугольника — последовательные натуральные числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что один из медиан треугольника — перпендикулярен одной из его сторон.
   
   
7. Можно ли раскрасить рёбра куба в два цвета так, чтобы по рёбрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?
   
   

Решения задач

1. За круглым столом сидели рыцари и леди — всего 40 человек, причём у 22 из сидящих среди соседей был рыцарь, а у 30 — леди. Сколько леди сидело за столом?
   Решение: Обозначим количество леди как \( L \), рыцарей как \( R = 40 - L \). У 22 человек есть рыцарь среди соседей: это все рыцари (так как каждый рыцарь имеет хотя бы одного рыцаря-соседа) и леди, соседствующие с рыцарями. У 30 человек есть леди среди соседей: это все леди и рыцари, соседствующие с леди.
   Количество леди, окружённых двумя леди: \( L_{LL} = 18 \). Количество рыцарей, окружённых двумя рыцарями: \( R_{RR} = 10 \). Оставшиеся \( 40 - 18 - 10 = 12 \) человек имеют соседей разного типа.
   Группы рыцарей и леди чередуются с 6 переходами. Для рыцарей: сумма длин групп \( R = 16 \), внутренние рыцари \( R_{RR} = 10 \). Для леди: сумма длин групп \( L = 24 \), внутренние леди \( L_{LL} = 18 \). Проверка условий подтверждает решение.
   Ответ: 24.
   
   
2. Все компьютеры фирмы «Светофор» имеют три разъёма для проводов — красный, жёлтый и зелёный. Однажды некий миллиардер скупил все компьютеры этой фирмы и начал соединять разъёмы одинаковых цветов между собой проводами. Через некоторое время осталось три незанятых разъёма (возможно, на разных компьютерах). Докажите, что они все разного цвета.
   Решение: Каждый компьютер имеет три разъёма. При соединении одинаковых цветов проводами, количество свободных разъёмов каждого цвета должно быть чётным (так как провода соединяют два разъёма). Осталось три разъёма — нечётное число. Следовательно, все три оставшихся разъёма должны быть разного цвета, иначе хотя бы один цвет имел бы нечётное количество свободных разъёмов, что противоречит условию.
   Ответ: Все три разъёма разного цвета.
   
   
3. На планете Зингарис существует традиция создавать символические артефакты, называемые «Гексашоды». Каждый Гексашод — это шестиугольная скульптура, где каждая грань изображает одно из уникальных изобретений мудрецов Зинга. Какое количество уникальных Гексашодов могут создать зингарийцы, если каждый Гексашод должен включать изображения 6 различных изобретений из набора из 7?
   Решение: Количество способов выбрать 6 из 7 изобретений: \( C(7,6) = 7 \). Для каждого выбора шести изобретений количество перестановок граней шестиугольника: \( \frac{6!}{6} = 120 \) (учитывая вращательную симметрию). Итоговое количество: \( 7 \times 120 = 840 \).
   Ответ: 840.
   
   
4. Дано шестизначное число $\texttt{abcdef}$, причём \( def - abc \) делится на 7. Докажите, что и само число $\texttt{abcdef}$ делится на 7.
   Решение: Число \( N = 1000 \cdot abc + def \). По условию \( def - abc \equiv 0 \mod 7 \). Тогда: \[ N = 1000 \cdot abc + def = 1001 \cdot abc + (def - abc) \equiv 0 \mod 7 \quad (\text{т.к. } 1001 \div 7 = 143). \] Ответ: Доказано.
   
   
5. Назовём числа $\emph{согласованными}$, если их НОД и НОК отличаются не более чем в 2024 раза. Рассмотрим положительную дробь \( \dfrac{m}{n} \), числитель и знаменатель которой согласованы. Докажите, что данную дробь можно представить в виде \( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \), где \( a, b, c, d \) — целые и неотрицательные, причём \( b < d \leq 45 \).
   Решение: Пусть \( m = d_1 \cdot k \), \( n = d_2 \cdot k \), где \( k = \text{НОД}(m, n) \). Тогда \( \text{НОК}(m, n) = d_1 d_2 k \). Условие согласованности: \( d_1 d_2 \leq 2024 \). Представим \( \frac{m}{n} = \frac{d_1}{d_2} \). Выберем \( a = d_1 \), \( b = d_2 \), \( c = 0 \), \( d = 1 \). Условия \( b < d \leq 45 \) выполняются, так как \( d_2 \leq \sqrt{2024} \approx 45 \).
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Длины сторон треугольника — последовательные натуральные числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что один из медиан треугольника перпендикулярен одной из его сторон.
   Решение: Пусть стороны \( a \), \( a+1 \), \( a+2 \). Медиана к стороне \( a \) должна быть перпендикулярна ей. Используя формулу медианы и условие перпендикулярности, получаем уравнение: \[ \frac{2(a+1)^2 + 2(a+2)^2 - a^2}{4} = a^2 \quad \Rightarrow \quad a = 5. \] Периметр: \( 5 + 6 + 7 = 18 \).
   Ответ: 18.
   
   
7. Можно ли раскрасить рёбра куба в два цвета так, чтобы по рёбрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?
   Решение: Рассмотрим раскраску, где каждый цвет образует два непересекающихся цикла длины 4. Например, рёбра одного цвета — все рёбра верхнего и нижнего основания, другого цвета — вертикальные рёбра. Тогда оба подграфа связны и покрывают все вершины.
   Ответ: Да.