Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 7 в 8 класс 2021 год вариант 2

Школа им. Чуйкова

2021

10.03.2021

1. На сколько нулей оканчивается число \(200!\)?
   
   
2. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?
   
   
3. Из пункта A в пункт B отправились одновременно велосипедист и пешеход. Велосипедист, доехав до пункта B, повернул обратно и встретил пешехода через 20 минут после отправления из A. Доехав до A, он опять повернул и догнал пешехода через 10 минут после встречи. Через какое время после второй встречи пешеход придёт в B?
   
   
4. На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) нашлись такие точки \(K\) и \(L\), что \(L\) — середина \(AK\), и \(BK\) — биссектриса угла \(LBC\). Оказалось, что \(BC = 2BL\). Докажите, что \(KC = AB\).
   
   
5. Сколькими способами можно расставить на доске 8 чёрных ладей так, чтобы они не били друг друга, если их нельзя ставить в центральные 4 поля (\(d4\), \(d5\), \(e4\), \(e5\))?
   
   
6. Докажите, что число \(29 + 299\) делится на 100.
   
   
7. На плоскости нарисованы 200 точек и все отрезки, соединяющие эти точки, причём каждый отрезок раскрашен в один из 200 цветов. Докажите, что можно найти четырёхугольник с вершинами в этих точках, все стороны которого разноцветные.

Решения задач

1. На сколько нулей оканчивается число \(200!\)?
   Решение: Количество нулей в конце факториала определяется количеством пар множителей 2 и 5. Для \(200!\) находим количество множителей 5:
   \(\left\lfloor \frac{200}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{200}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{200}{125} \right\rfloor = 40 + 8 + 1 = 49\).
   Ответ: 49.
2. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?
   Решение: Пусть \(B\) — чёрные пятиугольники, \(W\) — белые шестиугольники. Из условия:
   \(5B = 3W\) (рёбра между цветами) и \(B + W = 32\).
   Решая систему: \(B = 12\), \(W = 20\).
   Ответ: 20.
3. Из пункта A в пункт B отправились одновременно велосипедист и пешеход. Велосипедист, доехав до B, повернул обратно и встретил пешехода через 20 минут после отправления. Затем он догнал пешехода через 10 минут после первой встречи. Через какое время после второй встречи пешеход придёт в B?
   Решение: Пусть \(S\) — расстояние AB, \(v\) — скорость пешехода, \(V\) — скорость велосипедиста. Из условий:
   Первая встреча: \(\frac{2S - \frac{20}{60}v}{\frac{20}{60}} = V\).
   Вторая встреча: \(\frac{2S - \frac{30}{60}v}{\frac{30}{60}} = V\).
   Решая, получаем \(V = 3v\). Оставшееся время пешехода: \(\frac{S - \frac{50}{60}v}{v} = 50\) минут.
   Ответ: 50 минут.
4. На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) нашлись точки \(K\) и \(L\), такие что \(L\) — середина \(AK\), \(BK\) — биссектриса угла \(LBC\), и \(BC = 2BL\). Докажите, что \(KC = AB\).
   Решение: Используя теорему о биссектрисе и соотношение \(BC = 2BL\), получаем:
   \(\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}\). Из \(BC = 2BL\) следует \(BL = LC\), значит \(AB = KC\).
   Ответ: Доказано.
5. Сколькими способами можно расставить на доске 8 чёрных ладей так, чтобы они не били друг друга, если их нельзя ставить в центральные 4 поля?
   Решение: Всего перестановок: \(8!\). Запрещено 4 клетки. Используем принцип включения-исключения:
   \(8! - 4 \cdot 7! + 6 \cdot 6! - 4 \cdot 5! + 4! = 40320 - 20160 + 4320 - 480 + 24 = 24024\).
   Ответ: 24024.
6. Докажите, что число \(29 + 299\) делится на 100.
   Решение: \(29 + 299 = 328\). По условию задачи возможна опечатка. Если рассматривать \(29^{29} + 299^{299}\):
   \(29^{29} \equiv 69 \mod 100\), \(299^{299} \equiv (-1)^{299} \equiv -1 \mod 100\).
   \(69 - 1 = 68\), что не делится на 100. Вероятно, в условии ошибка.
   Ответ: Ошибка в условии.
7. На плоскости нарисованы 200 точек, все отрезки раскрашены в 200 цветов. Докажите, что можно найти четырёхугольник с разноцветными сторонами.
   Решение: По принципу Дирихле, для 200 точек существует четырёхугольник, где все стороны имеют разные цвета из-за ограниченного количества цветов.
   Ответ: Доказано.