Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2021

10.03.2021

1. Номер карты «Пятёрка» состоит из 5 цифр. Назовём карту прикольной, если её номер является палиндромом, а все цифры в нём не больше пятёрки. Чему равна сумма номеров всех прикольных карт «Пятёрка»?
   
   
2. Докажите, что если \(a\), \(b\), \(c\) не делятся на 7, то \(a^3 + b^3 + c^3 - 5\) тоже не делится на 7.
   
   
3. В городе Равника можно, перемещаясь только по дорогам, попасть с любой площади на любую другую. Докажите, что можно перекрыть одну площадь так, чтобы с любой из оставшихся площадей всё ещё можно было попасть на любую другую. Любой перекрёсток считается площадью; с площади может вести любое натуральное число дорог.
   
   
4. Является ли простым число \(8181 + 324324\)?
   
   
5. Буратино и Кот Базилио выкопали по ямке на Поле Чудес и закопали по одной монетке — каждый в свою ямку. Каждый день, проверяя количество монет, они обнаруживали, что за ночь их число в ямке Буратино увеличивается в 3 раза, а в ямке Кота Базилио — в 2 раза. Прошло \(n\) ночей. Сегодня Кот обнаружил, что за прошедшую ночь его количество монет выросло аж в \(2^n\) раз (такое случилось только сегодня), и предложил поспорить, что теперь у него монет больше. Докажите, что Буратино выиграет такой спор независимо от \(n\).

Решения задач

1. Номер карты «Пятёрка» состоит из 5 цифр. Назовём карту прикольной, если её номер является палиндромом, а все цифры в нём не больше пятёрки. Чему равна сумма номеров всех прикольных карт «Пятёрка»?
   Решение: Палиндром имеет вид $\overline{abcba}$, где $a \in \{1,2,3,4,5\}$, $b,c \in \{0,1,2,3,4,5\}$. Каждая цифра в разрядах:
   • Первый и пятый разряды: $a$ встречается $6 \cdot 6$ раз для каждого значения. Сумма вклада: $(1+2+3+4+5) \cdot 6 \cdot 6 \cdot 10001 = 15 \cdot 36 \cdot 10001 = 5\,400\,540$.
   • Второй и четвёртый разряды: $b$ встречается $5 \cdot 6$ раз. Сумма: $(0+1+2+3+4+5) \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1010 = 15 \cdot 30 \cdot 1010 = 454\,500$.
   • Третий разряд: $c$ встречается $5 \cdot 6$ раз. Сумма: $(0+1+2+3+4+5) \cdot 5 \cdot 6 \cdot 100 = 15 \cdot 30 \cdot 100 = 45\,000$.
   Общая сумма: $5\,400\,540 + 454\,500 + 45\,000 = 5\,900\,040$.
   Ответ: \boxed{5900040}.
   
   
2. Докажите, что если \(a\), \(b\), \(c\) не делятся на 7, то \(a^3 + b^3 + c^3 - 5\) тоже не делится на 7.
   Решение: Для чисел, не кратных 7, возможные остатки кубов по модулю 7: 1 и 6. Сумма трёх кубов может дать остатки 3, 1, 6 или 4. Вычитая 5, получаем остатки 5, 3, 1, 6 соответственно. Ни один из них не равен 0 по модулю 7.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. В городе Равника можно, перемещаясь только по дорогам, попасть с любой площади на любую другую. Докажите, что можно перекрыть одну площадь так, чтобы с любой из оставшихся площадей всё ещё можно было попасть на любую другую.
   Решение: В связном графе с числом вершин \( \geq 2 \) существует вершина, удаление которой не нарушает связности. Если граф содержит цикл, удаление любой вершины цикла сохранит связность. Если граф — дерево, удаление листа сохранит связность.
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Яявляется ли простым число \(8181 + 324324\)?
   Решение: \(8181 + 324324 = 332505\). Сумма цифр: \(3+3+2+5+0+5=18\), делится на 9. Следовательно, число составное.
   Ответ: \boxed{\text{Нет}}.
   
   
5. Буратино и Кот Базилио выкопали по ямке на Поле Чудес и закопали по одной монетке — каждый в свою ямку. Каждый день, проверяя количество монет, они обнаруживали, что за ночь их число в ямке Буратино увеличивается в 3 раза, а в ямке Кота Базилио — в 2 раза. Прошло \(n\) ночей. Сегодня Кот обнаружил, что за прошедшую ночь его количество монет выросло аж в \(2^n\) раз (такое случилось только сегодня), и предложил поспорить, что теперь у него монет больше. Докажите, что Буратино выиграет такой спор независимо от \(n\).
   Решение: После \(n-1\) ночей у Кота \(2^{n-1}\) монет. После последней ночи: \(2^{n-1} \cdot 2^n = 2^{2n-1}\). У Буратино: \(3^n\). Докажем неравенство \(3^n > 2^{2n-1}\): \[ 3^n = 3 \cdot 3^{n-1}, \quad 2^{2n-1} = 2 \cdot 4^{n-1}. \] Для \(n=1\): \(3 > 2\). Для \(n=2\): \(9 > 8\). При \(n \geq 3\): \[ 3^n > 2^{2n-1} \iff \left(\frac{3}{4}\right)^n > \frac{1}{2}. \] При \(n=3\): \(\frac{27}{64} > \frac{1}{2}\) (неверно). Однако условие задачи требует пересмотра: фактически, \(3^n\) превосходит \(2^{2n-1}\) только при \(n \leq 2\), что указывает на возможную ошибку в условии.
   Ответ: Доказано для \(n \leq 2\).