Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2022

18.03.2022

1. Остап Бендер запер свои сбережения в сейфе и забыл код. За сколько попыток великий комбинатор гарантированно сможет открыть сейф, если помнит, что код четырёхзначный, делится на 396, а последняя цифра — 4?
   
   
2. Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но в обратном направлении?
   
   
3. Центр города представляет собой квадрат \(5 \times 5\) км, состоящий из 25 кварталов размером \(1 \times 1\) км, границы которых — улицы, образующие 36 перекрёстков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрёстках так, чтобы до каждого из перекрёстков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?
   
   
4. Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2023 делится \(2023!\)
   
   
5. Шрек, Осёл и Кот в сапогах играют в камень-ножницы-бумагу. В каждой партии играют двое, а третий ждёт. Проигравший партию уступает место третьему и в следующей партии сам становится ждущим. Шрек сыграл всего 12 партий, Осёл — 7 партий, Кот — 11 партий. Сколько раз Шрек выиграл у Осла?
   
   
6. Существуют ли пять таких слов русского языка, чтобы каждое имело хотя бы одну общую букву ровно с тремя другими?
   
   
7. На бесконечном клетчатом поле Петя ставит крестики, Вася — нолики. Если у Пети получится собрать квадрат \(2 \times 2\) из крестиков, то он выиграет. Сможет ли Вася ему помешать?

Решения задач

1. Остап Бендер запер свои сбережения в сейфе и забыл код. За сколько попыток великий комбинатор гарантированно сможет открыть сейф, если помнит, что код четырёхзначный, делится на 396, а последняя цифра — 4?
   Решение: Код должен быть четырёхзначным, делиться на 396 (396 = 4·9·11) и оканчиваться на 4. Число делится на 4, если последние две цифры образуют число, кратное 4. Возможные варианты: 04, 24, 44, 64, 84. Проверим числа вида \_\_\_4, кратные 396:
   - 1584: 1584 ÷ 396 = 4
   - 3564: 3564 ÷ 396 = 9
   - 5544: 5544 ÷ 396 = 14
   - 7524: 7524 ÷ 396 = 19
   - 9504: 9504 ÷ 396 = 24
   Всего 5 возможных кодов. Ответ: 5 попыток.
   Ответ: $\boxed{5}$.
2. Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но в обратном направлении?
   Решение: Пусть длина окружности озера \( S \). Скорость мамы \( v_m = \frac{S}{12} \). Скорость Вани \( v_v \). При движении в одном направлении относительная скорость \( v_v - v_m \). Время между встречами:
   \( \frac{S}{v_v - v_m} = 12 \Rightarrow v_v = \frac{S}{6} \).
   При движении в противоположных направлениях относительная скорость \( v_v + v_m = \frac{S}{4} \). Время между встречами:
   \( \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \) минуты.
   Ответ: $\boxed{4}$ минуты.
3. Центр города представляет собой квадрат \(5 \times 5\) км, состоящий из 25 кварталов размером \(1 \times 1\) км, границы которых — улицы, образующие 36 перекрёстков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрёстках так, чтобы до каждого из перекрёстков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?
   Решение: Полицейские должны находиться на перекрёстках так, чтобы каждый перекрёсток был в радиусе 2 км (манхэттенское расстояние). Оптимальное расположение — разместить полицейских через каждые 3 перекрёстка:
   
   Минимальное количество полицейских — 4.
   Ответ: $\boxed{4}$.
4. Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2023 делится \(2023!\).
   Решение: Разложим 2023 на простые множители: \(2023 = 7 \cdot 17^2\). Найдем показатели степеней:
   - Для 7: \(\left\lfloor \frac{2023}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2023}{49} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2023}{343} \right\rfloor = 289 + 41 + 5 = 335\).
   - Для 17: \(\left\lfloor \frac{2023}{17} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2023}{289} \right\rfloor = 119 + 7 = 126\). Для \(17^2\): \(\left\lfloor \frac{126}{2} \right\rfloor = 63\).
   Наименьший показатель: 63. Ответ: $\boxed{63}$.
5. Шрек, Осёл и Кот в сапогах играют в камень-ножницы-бумагу. В каждой партии играют двое, а третий ждёт. Проигравший партию уступает место третьему и в следующей партии сам становится ждущим. Шрек сыграл всего 12 партий, Осёл — 7 партий, Кот — 11 партий. Сколько раз Шрек выиграл у Осла?
   Решение: Общее количество партий: \(\frac{12 + 7 + 11}{2} = 15\). Пусть \(x\) — количество побед Шрека над Ослом. Составим уравнения:
   - \(x + z = 4\) (поражения Шрека от Осла), - \(y + m = 8\) (победы Шрека над Котом и поражения от Кота), - \(w + n = 3\) (победы и поражения Осла от Кота).
   Максимальное \(x = 4\). Ответ: $\boxed{4}$.
6. Существуют ли пять таких слов русского языка, чтобы каждое имело хотя бы одну общую букву ровно с тремя другими?
   Решение: Граф с пятью вершинами, где каждая вершина имеет степень 3, невозможен, так как сумма степеней вершин должна быть чётной (\(5 \cdot 3 = 15\) — нечётно). Ответ: $\boxed{\text{Нет}}$.
7. На бесконечном клетчатом поле Петя ставит крестики, Вася — нолики. Если у Пети получится собрать квадрат \(2 \times 2\) из крестиков, то он выиграет. Сможет ли Вася ему помешать?
   Решение: Вася может использовать стратегию блокировки: на каждый ход Пети ставить нолик в потенциальный угол квадрата \(2 \times 2\). Так как поле бесконечно, Вася успеет заблокировать все возможные квадраты. Ответ: $\boxed{\text{Да}}$.