8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
Печать
youit.school ©

Школа им. Чуйкова


2022


13.03.2022



  1. Частное в три раза меньше делимого и в пять раз больше делителя. Найдите делимое и частное.

  2. Сколько существует пятизначных чётных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется?

  3. Можно ли вписать в клетки доски \(8 \times 8\) различные числа от 1 до 64 так, чтобы в любом квадратике \(2 \times 2\) сумма чисел была равна 120?

  4. Ладейная доминошка — это доминошка, на которой стоят две ладьи. Она атакует все клетки, которые атакуют стоящие на ней ладьи. Какое наибольшее количество ладейных доминошек можно расставить на доске \(8 \times 8\)?

  5. Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй — 2, к третьей — 3 и к четвёртой — 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?

  6. В классе Силаэдра учится 20 человек, каждый имеет одного или двух научных руководителей. У любых двух из них есть общий руководитель. Докажите, что какой-то руководитель имеет в этом классе не менее четырнадцати учеников.

  7. У натурального числа нашли наибольший и наименьший делители, отличные от самого числа и единицы. Разница между делителями равна 101. Чему равно исходное число?

  8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.

  9. На бесконечном клетчатом поле Петя ставит крестики, Вася — нолики. Если у Пети получится собрать квадрат \(2 \times 2\) из крестиков, то он выиграет, если он не сможет это сделать за 1000 ходов — он проиграет. Кто выигрывает при правильной игре?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Частное в три раза меньше делимого и в пять раз больше делителя. Найдите делимое и частное.
    Решение: Пусть частное равно $q$. Тогда делимое равно $3q$, а делитель равен $\frac{q}{5}$. По определению деления:
    $3q = \frac{q}{5} \cdot q \implies 3q = \frac{q^2}{5} \implies q^2 - 15q = 0 \implies q(q - 15) = 0 \implies q = 15$.
    Делимое: $3 \cdot 15 = 45$, делитель: $\frac{15}{5} = 3$.
    Ответ: делимое 45, частное 15.
  2. Сколько существует пятизначных чётных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется?
    Решение: Рассмотрим два случая:
    1) Последняя цифра 0: $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ вариантов.
    2) Последняя цифра 2,4,6,8: $4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 10752$ вариантов.
    Общее количество: $3024 + 10752 = 13776$.
    Ответ: 13776.
  3. Можно ли вписать в клетки доски \(8 \times 8\) различные числа от 1 до 64 так, чтобы в любом квадратике \(2 \times 2\) сумма чисел была равна 120?
    Решение: Сумма всех чисел от 1 до 64 равна $\frac{64 \cdot 65}{2} = 2080$. Если бы условие выполнялось, сумма чисел во всех квадратах $2 \times 2$ составила бы $49 \cdot 120 = 5880$. Однако каждое внутреннее число участвует в 4 квадратах, что приводит к противоречию.
    Ответ: Нет.
  4. Ладейная доминошка — это доминошка, на которой стоят две ладьи. Она атакует все клетки, которые атакуют стоящие на ней ладьи. Какое наибольшее количество ладейных доминошек можно расставить на доске \(8 \times 8\)?
    Решение: Размещая доминошки в шахматном порядке через строку и столбец, можно поставить 16 доминошек так, чтобы их зоны атаки не пересекались.
    Ответ: 16.
  5. Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй — 2, к третьей — 3 и к четвёртой — 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?
    Решение: Пусть число $ABCD$. Тогда $(A+1)(B+2)(C+3)(D+4) = 234 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13$. Подходит вариант $A=1$, $B=1$, $C=0$, $D=9$: $(1+1)(1+2)(0+3)(9+4) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 234$.
    Ответ: 1109.
  6. В классе Силаэдра учится 20 человек, каждый имеет одного или двух научных руководителей. У любых двух из них есть общий руководитель. Докажите, что какой-то руководитель имеет в этом классе не менее четырнадцати учеников.
    Решение: Предположим, все руководители имеют ≤13 учеников. Тогда максимальное количество пар учеников с общим руководителем: $\binom{13}{2} + \binom{7}{2} = 78 + 21 = 99 < \binom{20}{2} = 190$. Противоречие.
    Ответ: Существует руководитель с ≥14 учениками.
  7. У натурального числа нашли наибольший и наименьший делители, отличные от самого числа и единицы. Разница между делителями равна 101. Чему равно исходное число?
    Решение: Пусть наименьший делитель $p$, тогда число $n = p \cdot q$, где $q$ — наибольший делитель. Условие: $q - p = 101$. Так как $p$ простое, $n = p(p + 101)$. При $p=2$: $n=2 \cdot 103=206$.
    Ответ: 206.
  8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.
    Решение: Пусть $v$ — скорость велосипедиста, $u$ — мотоциклиста. Из первого обгона: $\frac{u}{6} = \frac{2v}{3} \implies u=4v$. Из второго обгона: $\frac{2u}{3} = \frac{7v}{6} + 30 \implies u=80$ км/ч.
    Ответ: 80 км/ч.
  9. На бесконечном клетчатом поле Петя ставит крестики, Вася — нолики. Если у Пети получится собрать квадрат \(2 \times 2\) из крестиков, то он выиграет, если он не сможет это сделать за 1000 ходов — он проиграет. Кто выигрывает при правильной игре?
    Решение: Вася может блокировать все потенциальные квадраты, ставя нолики в ключевые клетки. Петя не успеет создать квадрат за ограниченное число ходов.
    Ответ: Вася.
Материалы школы Юайти