Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 6 в 7 класс 2022 год

Школа им. Чуйкова

2022

11.05.2022

1. В классе присутствовало 30 учеников. Число отсутствующих составило \(\frac{1}{16}\) числа всех учащихся этого класса. Сколько всего учеников в этом классе?
   
   
2. 15 лесорубов вырубили участок леса за 46 дней. За сколько дней могли бы вырубить тот же участок 23 лесоруба при той же производительности труда?
   
   
3. Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?
   
   
4. За экзамен дети получили тройки, четвёрки и пятёрки (каждый по одной оценке). Тех, кто получил тройку и четвёрку — поровну. Тех, кто получил пятёрку, на 1 больше, чем тех, кто получил тройку. Сумма баллов всех оценок равна 125. Найдите количество детей, сдавших экзамены.
   
   
5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 18 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 75 км/ч, и через 2 часа после старта он опережал второй автомобиль на три круга. Найдите скорость второго автомобиля.
   
   
6. Сплав состоит из золота и серебра, причём золото составляет 40% сплава. Если к сплаву добавить ещё 80 г золота, то золото будет составлять половину сплава. Сколько золота и серебра в сплаве?
   
   
7. Сколько существует способов раскрасить клетки таблицы \(2 \times 5\) в два цвета так, чтобы не возникло ни одного одноцветного столбца и ни одной одноцветной строки?
   
   
8. На квадратной доске какого наименьшего размера можно разместить полный набор кораблей по правилам морского боя? (4 однопалубных, 3 двухпалубных, 2 трёхпалубных и 1 четырёхпалубный)

Решения задач

1. В классе присутствовало 30 учеников. Число отсутствующих составило \(\frac{1}{16}\) числа всех учащихся этого класса. Сколько всего учеников в этом классе?
   Решение: Пусть общее количество учеников в классе равно \(x\). Тогда отсутствующих учеников \(\frac{x}{16}\). По условию:
   \(x - \frac{x}{16} = 30\)
   \(\frac{15x}{16} = 30\)
   \(x = \frac{30 \cdot 16}{15} = 32\)
   Ответ: 32.
   
   
2. 15 лесорубов вырубили участок леса за 46 дней. За сколько дней могли бы вырубить тот же участок 23 лесоруба при той же производительности труда?
   Решение: Объём работы пропорционален количеству рабочих и времени. Составим пропорцию:
   \(15 \cdot 46 = 23 \cdot t\)
   \(t = \frac{15 \cdot 46}{23} = 30\)
   Ответ: 30 дней.
   
   
3. Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?
   Решение: Пусть возраст дочери сейчас \(x\) лет, тогда возраст мамы \(8x\) лет. Через 4 года:
   \(8x + 4 = 4(x + 4)\)
   \(8x + 4 = 4x + 16\)
   \(4x = 12\)
   \(x = 3\)
   Ответ: 3 года.
   
   
4. За экзамен дети получили тройки, четвёрки и пятёрки (каждый по одной оценке). Тех, кто получил тройку и четвёрку — поровну. Тех, кто получил пятёрку, на 1 больше, чем тех, кто получил тройку. Сумма баллов всех оценок равна 125. Найдите количество детей, сдавших экзамены.
   Решение: Пусть количество троек и четвёрок равно \(x\), тогда пятёрок \(x + 1\). Сумма баллов:
   \(3x + 4x + 5(x + 1) = 125\)
   \(12x + 5 = 125\)
   \(12x = 120\)
   \(x = 10\)
   Общее количество детей: \(10 + 10 + 11 = 31\)
   Ответ: 31.
   
   
5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 18 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 75 км/ч, и через 2 часа после старта он опережал второй автомобиль на три круга. Найдите скорость второго автомобиля.
   Решение: Разница в расстоянии за 2 часа:
   \(3 \cdot 18 = 54\) км
   Разница скоростей: \(\frac{54}{2} = 27\) км/ч
   Скорость второго автомобиля: \(75 - 27 = 48\) км/ч
   Ответ: 48 км/ч.
   
   
6. Сплав состоит из золота и серебра, причём золото составляет 40% сплава. Если к сплаву добавить ещё 80 г золота, то золото будет составлять половину сплава. Сколько золота и серебра в сплаве?
   Решение: Пусть масса сплава \(x\) г. Тогда золота \(0,4x\) г. После добавления:
   \(0,4x + 80 = 0,5(x + 80)\)
   \(0,4x + 80 = 0,5x + 40\)
   \(0,1x = 40\)
   \(x = 400\)
   Золота: \(0,4 \cdot 400 = 160\) г
   Серебра: \(400 - 160 = 240\) г
   Ответ: 160 г золота, 240 г серебра.
   
   
7. Сколько существует способов раскрасить клетки таблицы \(2 \times 5\) в два цвета так, чтобы не возникло ни одного одноцветного столбца и ни одной одноцветной строки?
   Решение: Каждый столбец должен содержать разные цвета. Для каждого столбца есть 2 варианта: (верх чёрный, низ белый) или наоборот. Всего \(2^5 = 32\) вариантов. Исключим варианты с одноцветными строками:
   Две одноцветные строки: 2 варианта (все верхние чёрные или все белые)
   Итог: \(32 - 2 = 30\)
   Ответ: 30.
   
   
8. На квадратной доске какого наименьшего размера можно разместить полный набор кораблей по правилам морского боя? (4 однопалубных, 3 двухпалубных, 2 трёхпалубных и 1 четырёхпалубный)
   Решение: Минимальный размер доски, учитывая размещение кораблей с расстоянием между ними, составляет \(10 \times 10\). Это стандартное поле для морского боя.
   Ответ: \(10 \times 10\).