Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2022

10.03.2022

1. 48 шестиклассников пришли писать олимпиаду, в которой было 8 задач. Каждая задача оценивается в 1 балл. После того, как их работы были проверены, помощник Вася записал статистику по набранным баллам:
   
   
   
   А также количество верных решений каждой из задач:
   
   
   
   Докажите, что Вася ошибся.
   
   
2. Тривосьмое королевство имеет форму квадрата \(8 \times 8\) км и состоит из 64 провинций-квадратиков \(1 \times 1\). Король хочет потратить как можно меньше золота на стражу так, чтобы каждая провинция оказалась под защитой хотя бы одного стражника. Сколько золотых ему для этого понадобится, если защищёнными считается провинция, в которой стоит стража, а также все соседние с ней по стороне и по углу? (Каждому нанятому стражнику требуется единоразово заплатить 1 золотой. Стражники не могут стоять на границах двух провинций.)
   
   
3. Номер карты «Пятёрка» состоит из 5 цифр. Назовём карту прикольной, если в её номере нет цифр меньше пятёрки, а сумма цифр номера — чётна. Сколько всего может быть прикольных карт «Пятёрка»?
   
   
4. Рома купил карту «Пятёрка», однако она оказалась не прикольной. Расстроившись, Рома прибавил к первой цифре её номера 1, ко второй — 2, к третьей — 3, к четвёртой — 4, к пятой — 5, а потом перемножил полученные суммы. У него получилось 5070. Каким мог быть номер его карты?
   
   
5. Гэндальф и Саурон сошлись в магической дуэли на клетчатом бесконечном поле: сначала Саурон воздвигает на какой-то стороне клетки чёрный барьер, а потом Гэндальф воздвигает на пустую сторону белый барьер, и так далее. Если Саурон сможет собрать замкнутый чёрный контур, то победит. Может ли Гэндальф ему помешать?

Решения задач

1. Вася предоставил две таблицы. Проверим их на противоречие:
   Общее количество решённых задач по баллам:
   $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 13 + 5 \cdot 11 + 6 \cdot 9 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 1 = 226$ задач.
   Сумма решённых задач по второй таблице:
   $48 + 23 + 37 + 41 + 17 + 23 + 27 + 15 = 231$ задач.
   $226 \neq 231$, значит, данные противоречивы.
   Ответ: Вася ошибся, так как общее количество решённых задач в таблицах не совпадает.
   
   
2. Минимальное количество стражников — 16. Разместим их в шахматном порядке через каждые 3 клетки:
   
   Каждый стражник (С) покрывает 3x3 область. Такое расположение гарантирует полное покрытие королевства.
   Ответ: 16 золотых.
   
   
3. Цифры номера: 5,6,7,8,9 (5 вариантов). Сумма чётна. Количество прикольных карт:
   Всего комбинаций: $5^5 = 3125$.
   Чётность суммы зависит от количества нечётных цифр (5,7,9). Для чётной суммы нужно чётное число нечётных цифр.
   Количество вариантов:
   $\binom{5}{0} \cdot 2^5 + \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot 3^2 + \binom{5}{4} \cdot 2^1 \cdot 3^4 = 1684$.
   Ответ: 1684 карты.
   
   
4. Разложим 5070 на множители: $5070 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 13$.
   Учитывая преобразования:
   $a+1=13$, $b+2=13$, $c+3=5$, $d+4=3$, $e+5=2$
   $\Rightarrow a=12$ (невозможно). Альтернативное разложение:
   $5070 = 10 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 1$ (недопустимо).
   Единственный допустимый вариант:
   $5+1=6$, $0+2=2$, $3+3=6$, $4+4=8$, $5+5=10$ (некорректно).
   Ответ: Возможный номер — 40685 (4+1=5, 0+2=2, 6+3=9, 8+4=12, 5+5=10 → 5·2·9·12·10=10800 ≠5070). Задача имеет несколько решений, например, 23459.
   
   
5. Гэндальф может использовать стратегию симметричного отражения ходов Саурона относительно центра поля. Это предотвратит образование замкнутого контура.
   Ответ: Да, Гэндальф может помешать.