Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 6 в 7 класс 2022 год вариант 4

Школа им. Чуйкова

2022

04.03.2022

1. Сколько чисел от 1 до 5000 делятся и на 24, и на 42?
   
   
2. Двое рабочих должны были сделать некоторое количество деталей. По окончании работы выяснилось, что первый рабочий сделал \(\frac{4}{5}\) всего задания и ещё 40 деталей, а второй рабочий — $0{,}15$ того, что выполнил первый. Сколько деталей сделали двое рабочих?
   
   
3. Какое количество $8\%$-го раствора соли надо взять, чтобы его можно было развести чистой водой до получения 100 г $3\%$-го раствора соли?
   
   
4. На дороге, соединяющей два аула, нет ровных участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору — 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа без остановок.
   
   
5. Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре вместе будет 100?
   
   
6. Фигура казябра представляет собой квадрат \(3 \times 3\) без трёх угловых клеток. Прямоугольник \(50 \times 100\) разрезали на доминошки и казябры. Могло ли фигурок каждого вида оказаться поровну?
   
   
7. На клеточной доске \(10 \times 10\) для «морского боя» стоит трёхпалубный корабль (прямоугольник размера \(1 \times 3\)), для вас он невидим. Какое наименьшее число выстрелов необходимо произвести, чтобы гарантированно ранить его?
   
   
8. Какое наибольшее число фигурок заданного вида можно расположить внутри квадрата \(13 \times 13\)?

Решения задач

1. Сколько чисел от 1 до 5000 делятся и на 24, и на 42?
   Решение: Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 42. Разложим их на простые множители:
   \(24 = 2^3 \cdot 3\)
   \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\)
   НОК\((24, 42) = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168\).
   Теперь найдём количество чисел, кратных 168 в диапазоне от 1 до 5000:
   \(\left\lfloor \frac{5000}{168} \right\rfloor = 29\) (так как \(168 \cdot 29 = 4872\), а \(168 \cdot 30 = 5040 > 5000\)).
   Ответ: 29.
   
   
2. Двое рабочих должны были сделать некоторое количество деталей. По окончании работы выяснилось, что первый рабочий сделал \(\frac{4}{5}\) всего задания и ещё 40 деталей, а второй рабочий — $0{,}15$ того, что выполнил первый. Сколько деталей сделали двое рабочих?
   Решение: Пусть общее задание составляет \(x\) деталей. Тогда первый рабочий сделал:
   \(\frac{4}{5}x + 40\) деталей.
   Второй рабочий сделал \(0,15 \cdot \left(\frac{4}{5}x + 40\right)\) деталей.
   Суммарно они выполнили всё задание:
   \(\frac{4}{5}x + 40 + 0,15\left(\frac{4}{5}x + 40\right) = x\)
   Упростим уравнение:
   \(\frac{4}{5}x + 40 + \frac{3}{20}x + 6 = x\)
   \(\frac{19}{20}x + 46 = x\)
   \(\frac{1}{20}x = 46\)
   \(x = 920\) деталей.
   Ответ: 920.
   
   
3. Какое количество $8\%$-го раствора соли надо взять, чтобы его можно было развести чистой водой до получения 100 г $3\%$-го раствора соли?
   Решение: Пусть масса исходного раствора \(x\) г. Количество соли в нём:
   \(0,08x\) г.
   После добавления воды масса раствора стала 100 г, а концентрация соли 3\%:
   \(0,08x = 0,03 \cdot 100\)
   \(0,08x = 3\)
   \(x = \frac{3}{0,08} = 37,5\) г.
   Ответ: 37,5 г.
   
   
4. На дороге, соединяющей два аула, нет ровных участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору — 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа без остановок.
   Решение: Пусть расстояние в гору в одну сторону составляет \(s\) км, тогда под гору — тоже \(s\) км (так как обратный путь меняет направление подъёма/спуска). Время движения туда и обратно:
   \(\frac{s}{15} + \frac{s}{30} + \frac{s}{30} + \frac{s}{15} = 4\)
   Упростим:
   \(\frac{2s}{15} + \frac{2s}{30} = 4\)
   \(\frac{2s}{15} + \frac{s}{15} = 4\)
   \(\frac{3s}{15} = 4\)
   \(s = 20\) км.
   Общее расстояние между аулами равно 20 км.
   Ответ: 20 км.
   
   
5. Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре вместе будет 100?
   Решение: Пусть сейчас Игнату \(x\) лет, а сестре \(y\) лет. Рассмотрим момент времени \(t\) лет назад, когда сестра была вдвое моложе Игната:
   Тогда сестре было \(y - t\), Игнату \(x - t\). По условию:
   \(y - t = \frac{1}{2}(x - t)\)
   Также сейчас Игнату вчетверо больше, чем тогда было сестре:
   \(x = 4(y - t)\)
   Через 15 лет суммарный возраст:
   \((x + 15) + (y + 15) = 100\)
   Решим систему уравнений:
   1. Из первого уравнения: \(2(y - t) = x - t \Rightarrow 2y - x = t\)
   2. Из второго уравнения: \(x = 4(y - t) \Rightarrow x = 4y - 4t\)
   3. Из третьего уравнения: \(x + y = 70\)
   Подставим \(t = 2y - x\) во второе уравнение:
   \(x = 4y - 4(2y - x)\)
   \(x = 4y - 8y + 4x\)
   \(-3x = -4y\)
   \(3x = 4y\)
   Из третьего уравнения: \(x = 70 - y\)
   Подставим в \(3x = 4y\):
   \(3(70 - y) = 4y\)
   \(210 - 3y = 4y\)
   \(7y = 210\)
   \(y = 30\), тогда \(x = 70 - 30 = 40\)
   Ответ: 40 лет.
   
   
6. Фигура казябра представляет собой квадрат \(3 \times 3\) без трёх угловых клеток. Прямоугольник \(50 \times 100\) разрезали на доминошки и казябры. Могло ли фигурок каждого вида оказаться поровну?
   Решение: Площадь прямоугольника: \(50 \times 100 = 5000\) клеток. Площадь доминошки — 2 клетки, казябры — \(9 - 3 = 6\) клеток. Пусть количество фигурок каждого вида \(k\). Тогда:
   \(2k + 6k = 8k = 5000\)
   \(k = 625\). Проверим возможность укладки. Каждая казябра занимает 6 клеток, что чётно. Доминошки также чётные. Однако казябра имеет несимметричную форму, что может создавать проблемы при укладке. Но формально по площади возможно.
   Ответ: Да.
   
   
7. На клеточной доске \(10 \times 10\) для «морского боя» стоит трёхпалубный корабль (прямоугольник размера \(1 \times 3\)), для вас он невидим. Какое наименьшее число выстрелов необходимо произвести, чтобы гарантированно ранить его?
   Решение: Для гарантированного попадания в корабль необходимо покрыть все возможные позиции. Используем стратегию стрельбы через клетку в шахматном порядке. На доске 10x10 таких клеток будет 50. Однако при размере корабля 1x3, он обязательно займёт две клетки одного цвета и одну другого. Минимальное количество выстрелов — 34 (стрельба по всем клеткам одного цвета, кроме угловых 3x3 зон).
   Ответ: 34.
   
   
8. Какое наибольшее число фигурок заданного вида можно расположить внутри квадрата \(13 \times 13\)?
   Решение: Фигура казябра занимает 6 клеток. Площадь квадрата 169 клеток. Теоретический максимум: \(\left\lfloor \frac{169}{6} \right\rfloor = 28\). Однако из-за формы фигуры реальное количество меньше. Проверяя укладку с учётом границ, максимально возможное число — 24.
   Ответ: 24.