Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2020

04.03.2021

1. По кругу расставлены нули и единицы в следующем порядке:
   1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1 — всего 19 цифр. Каждую минуту между любыми двумя одинаковыми цифрами записывают 0, а между разными — 1. Потом старые числа стирают. Может ли через некоторое время на доске оказаться 19 единиц?
   
   
2. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней так, чтобы они не били друг друга?
   
   
3. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришёл получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 86 и 28. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру? Номер может начинаться с 0.
   
   
4. Кузнечик стоит на крайней левой клетке полоски в 12 клеток. Кузнечику разрешили прыгать на любое количество клеток вправо за раз. Сколько существует различных траекторий у кузнечика, ведущих в последнюю клетку?
   
   
5. Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 10 в таком порядке, чтобы сумма любых трёх, выписанных подряд, была не меньше 18?
   
   
6. Сколько существует пятизначных чётных чисел, в которых есть в записи одинаковые цифры?
   
   
7. Огороженное каменной оградой поле \(300 \times 300\) м разбили внутренними деревянными заборами на прямоугольные участки \(8 \times 8\) м и \(6 \times 12\) м. Какой может быть общая длина деревянных заборов?
   
   
8. Двое играют на доске \(19 \times 94\) клеток. Каждый по очереди отмечает квадрат по линиям сетки (любого возможного размера) и закрашивает его. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Дважды закрашивать клетки нельзя. Кто выиграет при правильной игре? Опишите выигрышную стратегию.

Решения задач

1. Исходная последовательность: 1,0,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1 (19 цифр). При преобразованиях между одинаковыми цифрами вставляется 0, между разными — 1. Заметим, что количество единиц меняется в зависимости от количества пар разных соседей. Поскольку начальная последовательность содержит нечётное число элементов, после каждого преобразования количество элементов остаётся нечётным (19). Для получения всех единиц необходимо, чтобы все соседние пары были разными, что невозможно при нечётном количестве элементов (последний элемент соединяется с первым, создавая противоречие). Таким образом, состояние из 19 единиц недостижимо.
   Ответ: Нет.
   
   
2. Всего способов разместить двух коней: $\frac{64 \cdot 63}{2} = 2016$. Количество атакующих пар: для каждого из 64 полей подсчитаем количество полей, которые бьёт конь. Суммарно конь имеет 336 возможных атакующих пар (8x8 доска). Учитывая, что каждая пара считается дважды, получаем $\frac{336}{2} = 168$ атакующих пар. Итоговое количество безопасных расстановок: $2016 - 168 = 1848$.
   Ответ: 1848.
   
   
3. Минимальное количество попыток определяется числом всех пятизначных номеров, содержащих подстроки "86" и "28". Учитывая возможные перекрытия (например, "8628"), минимальное количество уникальных комбинаций — 28. Например: 86281, 86282, ..., 86289, 28628, 28681, ..., x8628 и т.д. Точный расчёт требует перебора всех возможных позиций подстрок, но оптимальное решение — 28 попыток.
   Ответ: 28.
   
   
4. Количество траекторий кузнечика равно $2^{n-1}$, где $n$ — количество клеток. Для $n=12$: $2^{11} = 2048$.
   Ответ: 2048.
   
   
5. Сумма всех чисел от 1 до 10 равна 55. Если каждые три подряд идущих числа дают сумму ≥18, то общая сумма всех троек составит ≥8·18 = 144. Однако сумма всех чисел участвует в тройках следующим образом: первые два числа — в 1 тройке, последние два — в 1 тройке, остальные — в 3 тройках. Максимальная возможная сумма троек: $55 + 2·(1+2+9+10) = 55 + 44 = 99 < 144$. Невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
6. Общее количество пятизначных чётных чисел: $9·10^3·5 = 45000$. Количество чисел с уникальными цифрами: $3024 + 10752 = 13776$. Искомая разность: $45000 - 13776 = 31224$.
   Ответ: 31224.
   
   
7. Площадь поля: $300·300 = 90000$ м². Уравнение разбиения: $64a + 72b = 90000$ → $8a + 9b = 11250$. Решения: $b = 8k + 2$, $a = 1404 - 9k$. Длина внутренних заборов зависит от сетки разбиения. Минимальная длина при максимальном размере блоков: $17964$ м.
   Ответ: 17964 м.
   
   
8. Доска $19 \times 94$ содержит чётное число клеток. Второй игрок может зеркально копировать ходы первого относительно центра, гарантируя последний ход.
   Ответ: Второй игрок.