Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2021

13.05.2021

1. В зале сидело 100 человек, каждый из которых был либо рыцарем (всегда говорит правду), либо лжецом (всегда лжет). Затем 60 человек по очереди выходили из зала и каждый говорил "Среди оставшихся лжецов больше, чем рыцарей". Сколько в зале было рыцарей изначально?
   
   
2. Можно ли разрезать квадрат со стороной 5 на семь прямоугольников с целыми длинами сторон так, чтобы среди них не было одинаковых?
   
   
3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску коня и слона так, чтобы они друг друга не атаковали?
   
   
4. Двое играют в игру на доске $10 \times 10$. За один ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником $1 \times 2$) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого есть выигрышная стратегия, у первого или у второго?
   
   
5. Нарисуйте такой десятиугольник, у которого все стороны располагаются ровно на пяти прямых.
   
   
6. 17 родителей обсуждают в общем чате три темы, причем любые двое обсуждают всегда только одну неизменную тему. Докажите, что найдутся три родителя, обсуждающие одну и ту же тему.

Решения задач

1. В зале сидело 100 человек, каждый из которых был либо рыцарем (всегда говорит правду), либо лжецом (всегда лжет). Затем 60 человек по очереди выходили из зала и каждый говорил: "Среди оставшихся лжецов больше, чем рыцарей". Сколько в зале было рыцарей изначально?
   Решение: Пусть изначально было $R$ рыцарей и $100 - R$ лжецов. После выхода 60 человек осталось 40 человек. Рассмотрим утверждения вышедших:
   • Если вышедший — рыцарь, его утверждение истинно: среди оставшихся лжецов больше рыцарей.
   • Если вышедший — лжец, его утверждение ложно: среди оставшихся лжецов не больше рыцарей.
   Предположим, все вышедшие — лжецы ($60$ человек). Тогда в оставшихся $40$ будет $R$ рыцарей и $40 - R$ лжецов. Условие лжи лжецов: $40 - R \leq R \Rightarrow R \geq 20$. Но при выходе каждого лжеца в процессе, оставшиеся лжецы должны были быть $\leq$ рыцарей на каждом шаге. Единственное значение, удовлетворяющее этому — $R = 40$. Тогда изначально лжецов $60$, их выход не нарушает условия. Ответ: $\boxed{40}$.
   
   
2. Можно ли разрезать квадрат со стороной 5 на семь прямоугольников с целыми длинами сторон так, чтобы среди них не было одинаковых?
   Решение: Площадь квадрата $25$. Минимальная сумма площадей семи различных прямоугольников с целыми сторонами: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 > 25$. Сумма площадей недостаточна. Ответ: $\boxed{\text{Нельзя}}$.
   
   
3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску коня и слона так, чтобы они друг друга не атаковали?
   Решение: Всего способов разместить коня и слона: $64 \cdot 63 = 4032$. Вычтем случаи, когда слон атакует коня. Для каждого коня количество атакующих слонов равно числу клеток на его диагоналях. Среднее количество атакующих слонов на одного коня — $14$. Общее количество атакующих пар: $64 \cdot 14 = 896$. Итоговое количество: $4032 - 896 = 3136$. Ответ: $\boxed{3136}$.
   
   
4. Двое играют в игру на доске $10 \times 10$. За один ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого есть выигрышная стратегия?
   Решение: Доска содержит чётное число клеток ($100$). Первый игрок может симметрично повторять ходы второго относительно центра, оставляя последний ход себе. Ответ: $\boxed{\text{У первого игрока}}$.
   
   
5. Нарисуйте такой десятиугольник, у которого все стороны располагаются ровно на пяти прямых.
   Решение: Пример — пятиконечная звезда, где каждая прямая содержит две стороны десятиугольника. Каждая из пяти прямых проходит через две противоположные вершины, образуя стороны звезды. Ответ: $\boxed{\text{Пятиконечная звезда}}$.
   
   
6. 17 родителей обсуждают в общем чате три темы, причем любые двое обсуждают всегда только одну неизменную тему. Докажите, что найдутся три родителя, обсуждающие одну и ту же тему.
   Решение: Используем теорему Рамсея для трёх цветов. Число Рамсея $R(3,3,3) = 17$, значит в любом раскрашенном графе с 17 вершинами найдётся одноцветный треугольник. Ответ: $\boxed{\text{Доказано}}$.