Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2024

01.04.2024

1. Вычислите: \[ 20000024 - 2000024 + 200024 - 20024 + 2024 \]
2. Из клавиатуры выпали некоторые буквы, но слово «одиннадцатиклассник» написать с помощью этой клавиатуры можно. Какое наименьшее количество букв могло остаться в этой клавиатуре?
   
   
3. У Аарона в сумке имеется трое носков белого цвета, двое носков чёрного цвета и 5 носков серого цвета. Какое минимальное количество носков Аарон должен вытащить, не заглядывая в сумку, чтобы среди них заведомо нашлась пара одного цвета?
   
   
4. Арсений забыл свой пароль, но помнит, что он состоит из 9 цифр, причём первая и последняя цифры пароля равны 6, а сумма любых трёх последовательных цифр в пароле — 18. Может ли Арсений однозначно восстановить свой пароль?
   
   
5. Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 4 прямоугольника (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание?
   
   
6. Умная кормушка заполняет миску кормом за 3 минуты. Кот Леопольд съедает миску корма за 9 минут, а кот Гарфилд съедает миску корма за 6 минут. За какое время наступит момент, когда кормушка заполнила бы одна, если бы оба кота в это время ели?
   
   
7. Барон Мюнхаузен разложил 7 монет на чаши весов. Далее он 6 раз сделал такие операции: брал любые два груза и перекладывал один фрукт с одной чаши на другую. Барон утверждает, что вначале и после каждой операции весы были в равновесии. Могут ли его слова быть правдой?

Решения задач

1. Вычислите: \[ 20000024 - 2000024 + 200024 - 20024 + 2024 \]
   Решение: Последовательно вычислим каждое действие:
   $20000024 - 2000024 = 18000000$
   $18000000 + 200024 = 18200024$
   $18200024 - 20024 = 18180000$
   $18180000 + 2024 = 18182024$
   Ответ: 18 182 024.
   
   
2. Из клавиатуры выпали некоторые буквы, но слово «одиннадцатиклассник» написать с помощью этой клавиатуры можно. Какое наименьшее количество букв могло остаться в этой клавиатуре?
   Решение: Уникальные буквы в слове: о, д, и, н, а, т, к, л, с, ц. Всего 10 различных букв. Повторяющиеся буквы: "н" (3 раза), "а" (2 раза), "с" (2 раза). Минимальное количество букв — 10.
   Ответ: 10.
   
   
3. У Аарона в сумке имеется трое носков белого цвета, двое носков чёрного цвета и 5 носков серого цвета. Какое минимальное количество носков Аарон должен вытащить, не заглядывая в сумку, чтобы среди них заведомо нашлась пара одного цвета?
   Решение: По принципу Дирихле: в худшем случае возьмём по 1 носку каждого цвета. Белых — 3, чёрных — 2, серых — 5. Максимальное количество без пары: 1 (белый) + 1 (чёрный) + 1 (серый) = 3. Следующий носок любого цвета даст пару. Значит, нужно вытащить 4 носка.
   Ответ: 4.
   
   
4. Арсений забыл свой пароль, но помнит, что он состоит из 9 цифр, причём первая и последняя цифры пароля равны 6, а сумма любых трёх последовательных цифр в пароле — 18. Может ли Арсений однозначно восстановить свой пароль?
   Решение: Обозначим цифры как $a_1, a_2, ..., a_9$, где $a_1 = a_9 = 6$. По условию:
   $a_1 + a_2 + a_3 = 18$ → $6 + a_2 + a_3 = 18$ → $a_2 + a_3 = 12$
   $a_2 + a_3 + a_4 = 18$ → $12 + a_4 = 18$ → $a_4 = 6$
   Аналогично: $a_5 = a_2$, $a_6 = a_3$, $a_7 = 6$, $a_8 = a_2$, $a_9 = 6$.
   Получаем периодичность: 6, $a_2$, $a_3$, 6, $a_2$, $a_3$, 6, $a_2$, 6.
   Из $a_8 + a_9 + a_{10}$ (но $a_{10}$ не существует) следует, что решение неоднозначно. Однако для 9 цифр: последняя тройка $a_7 + a_8 + a_9 = 6 + a_2 + 6 = 18$ → $a_2 = 6$. Тогда $a_3 = 12 - 6 = 6$. Все цифры равны 6.
   Ответ: Да, пароль 666666666.
   
   
5. Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 4 прямоугольника (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание?
   Решение: Разделим квадрат на 4 прямоугольника 1:2. Пример: разделить квадрат на 4 полосы шириной 1/4 и длиной 1. Соотношение сторон 1:4 не подходит. Альтернативно: разделить квадрат на два прямоугольника 1:2 по вертикали, затем каждый из них — на два меньших прямоугольника 1:2. Получим 4 прямоугольника с соотношением 1:2.
   Ответ: Да, выполнимо.
   
   
6. Умная кормушка заполняет миску кормом за 3 минуты. Кот Леопольд съедает миску корма за 9 минут, а кот Гарфилд съедает миску корма за 6 минут. За какое время наступит момент, когда кормушка заполнила бы одна, если бы оба кота в это время ели?
   Решение: Скорость наполнения: $\frac{1}{3}$ миски/мин. Совместная скорость поедания: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$ миски/мин. Чистая скорость: $\frac{1}{3} - \frac{5}{18} = \frac{1}{18}$ миски/мин. Время заполнения: $1 : \frac{1}{18} = 18$ минут.
   Ответ: 18 минут.
   
   
7. Барон Мюнхаузен разложил 7 монет на чаши весов. Далее он 6 раз сделал такие операции: брал любые два груза и перекладывал один фрукт с одной чаши на другую. Барон утверждает, что вначале и после каждой операции весы были в равновесии. Могут ли его слова быть правдой?
   Решение: Изначально суммарный вес на обеих чашах одинаков. При перекладывании монеты меняется разность весов на ±2 массы монеты. Чтобы сохранить баланс, необходимо, чтобы каждая операция компенсировала предыдущие изменения. С чётным количеством операций возможно вернуть исходное состояние, но с 7 монетами (нечётное количество) и 6 операциями — невозможно сохранить баланс после всех шагов.
   Ответ: Нет, не могут.