Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2023 год вариант 2

Школа им. Чуйкова

2023

09.03.2023

1. Сколько клеток нужно закрасить в прямоугольнике 5×4, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была закрашена хотя бы одна клетка?
   
   
2. Вычислите: \(5 \cdot 3 + 5 \cdot (3 + 7) - 5 \cdot (5 + 4) : 3\)
   
   
3. Ручка тяжелее карандаша в три раза. Ручка весит 24 грамма. Найдите массу пяти карандашей.
   
   
4. У Васи 6 ожерелий, по 28 бусинок в каждом. У Аллы 5 ожерелий. Известно, что в сумме у Аллы на 8 бусинок меньше. Сколько бусинок в одном ожерелье Аллы?
   
   
5. Некто прожил 34 года, 34 месяца, 34 недели, 34 дня и 34 часа. Сколько ему лет?
   
   
6. В ряд стоят числа от 1 до 9. Известно, что любые два числа, стоящие через одно, различаются на 1. Приведите пример ряда, в котором 3 и 6 стоят рядом.
   
   
7. В прямоугольнике 9×11, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
   
   
8. Андрей назвал все натуральные числа от 190 до 230 включительно («сто девяносто», «сто девяносто один» и т.д.). Сколько слов он произнёс?
   
   
9. На плоскости отметили 8 точек, затем каждые две из них соединили отрезком. Какое наибольшее число таких отрезков может пересечь прямая, которая не проходит ни через одну их этих точек?
   
   
10. На доске написано число 845. За один ход к числу можно прибавить любую ненулевую цифру, которая в нем содержится. Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы число оставалось нечетным?
    
    
11. Напомним, что игра в «морской бой» начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один «корабль» из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных. По правилам, «корабли» не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить поле для игры, оставив его квадратным, так, чтобы можно было расставить корабли, не нарушив правило?
    
    
12. На прямой стоят в ряд пять домов, причем в каждом живет разное число жителей, больше 1. Соседями называются люди, живущие в одном или в соседних домах. Известно, что у каждого жителя ровно 15 соседей или ровно 20 соседей. Сколько жителей живет в среднем доме?
    
    
13. Есть прямоугольный остров, разбитый на несколько прямоугольных участков, принадлежащих фермерам. В ответ на заданный каждому фермеру вопрос «сколько у Вас соседей?» было дано ровно два вида ответов: «три» и «восемь» (участки соседние, если у них есть общий отрезок границы). При каком наименьшем количестве участков такое возможно?
    
    
14. Даны восемь натуральных чисел. Первое записано только единицами, второе — только двойками, …, восьмое — только восьмерками. Приведите пример таких чисел, если известно, что одно из них равно сумме всех остальных (запишите ответ в виде равенства).
    
    
15. Шахматную доску 8×8 разрезали на несколько равных частей так, что все белые клетки остались неразрезанными, а каждая чёрная клетка оказалась разрезана. Приведите пример такого разрезания, в котором ровно 8 частей.
    
    

Решения задач

1. Сколько клеток нужно закрасить в прямоугольнике 5×4, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была закрашена хотя бы одна клетка?
   Решение: Минимальное количество клеток равно максимальному из числа строк и столбцов. В прямоугольнике 5×4 максимум из 5 и 4 равен 5. Пример: закрасить по одной клетке в каждой строке и столбце.
   Ответ: 5.
2. Вычислите: \(5 \cdot 3 + 5 \cdot (3 + 7) - 5 \cdot (5 + 4) : 3\)
   Решение: \(5 \cdot 3 = 15\)
   \(3 + 7 = 10\), \(5 \cdot 10 = 50\)
   \(5 + 4 = 9\), \(5 \cdot 9 = 45\), \(45 : 3 = 15\)
   Итог: \(15 + 50 - 15 = 50\)
   Ответ: 50.
3. Ручка тяжелее карандаша в три раза. Ручка весит 24 грамма. Найдите массу пяти карандашей.
   Решение: Карандаш весит \(24 : 3 = 8\) г. Пять карандашей: \(8 \cdot 5 = 40\) г.
   Ответ: 40.
4. У Васи 6 ожерелий, по 28 бусинок в каждом. У Аллы 5 ожерелий. Известно, что в сумме у Аллы на 8 бусинок меньше. Сколько бусинок в одном ожерелье Аллы?
   Решение: У Васи \(6 \cdot 28 = 168\) бусинок. У Аллы \(168 - 8 = 160\) бусинок. В одном ожерелье: \(160 : 5 = 32\).
   Ответ: 32.
5. Некто прожил 34 года, 34 месяца, 34 недели, 34 дня и 34 часа. Сколько ему лет?
   Решение:
   34 месяца = \(34 : 12 \approx 2,83\) года
   34 недели = \(34 : 52 \approx 0,65\) года
   34 дня = \(34 : 365 \approx 0,09\) года
   34 часа = \(34 : (24 \cdot 365) \approx 0,0039\) года
   Сумма: \(34 + 2,83 + 0,65 + 0,09 + 0,0039 \approx 37,58\) лет ≈ 38 лет.
   Ответ: 38.
6. В ряд стоят числа от 1 до 9. Известно, что любые два числа, стоящие через одно, различаются на 1. Приведите пример ряда, в котором 3 и 6 стоят рядом.
   Решение: Пример ряда: \(3, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 2, 1\). Проверка: числа через одно различаются на 1 (например, 3 и5, 6 и4 и т.д.).
   Ответ: \(3, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 2, 1\).
7. В прямоугольнике 9×11, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
   Решение: Количество разрезанных клеток: \(9 + 11 - \text{НОД}(9, 11) = 19\).
   Ответ: 19.
8. Андрей назвал все натуральные числа от 190 до 230 включительно. Сколько слов он произнёс?
   Решение:
   190: 2 слова; 191-199: 9 чисел ×3 =27; 200:1; 201-209:9×2=18; 210-219:10×2=20; 220:2; 221-229:9×3=27; 230:2. Сумма: \(2 + 27 + 1 + 18 + 20 + 2 + 27 + 2 = 99\).
   Ответ: 99.
9. На плоскости отметили 8 точек, затем каждые две из них соединили отрезком. Какое наибольшее число таких отрезков может пересечь прямая, которая не проходит ни через одну их этих точек?
   Решение: Максимальное пересечение достигается при разделении точек на две группы по 4. Число пересечений: \(4 \cdot 4 = 16\).
   Ответ: 16.
10. На доске написано число 845. За один ход к числу можно прибавить любую ненулевую цифру, которая в нем содержится. Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы число оставалось нечетным?
    Решение: Прибавляя только четные цифры (8 или4), можно сделать 7 ходов: 845 →853 →861 →869 →877 →885 →893 →901 (после чего прибавление невозможно).
    Ответ: 7.
11. Напомним, что игра в «морской бой» начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один «корабль» из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных. По правилам, «корабли» не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить поле для игры, оставив его квадратным, так, чтобы можно было расставить корабли, не нарушив правило?
    Решение: Минимальный размер поля — 9×9.
    Ответ: 9×9.
12. На прямой стоят в ряд пять домов, причем в каждом живет разное число жителей, больше 1. Соседями называются люди, живущие в одном или в соседних домах. Известно, что у каждого жителя ровно 15 соседей или ровно 20 соседей. Сколько жителей живет в среднем доме?
    Решение: Числа жителей: 12, 4, 5, 7, 9. Средний дом (третий) — 5.
    Ответ: 5.
13. Есть прямоугольный остров, разбитый на несколько прямоугольных участков, принадлежащих фермерам. В ответ на заданный каждому фермеру вопрос «сколько у Вас соседей?» было дано ровно два вида ответов: «три» и «восемь» (участки соседние, если у них есть общий отрезок границы). При каком наименьшем количестве участков такое возможно?
    Решение: Минимальное количество участков — 9 (центральный с 8 соседями и 8 вокруг с 3 соседями).
    Ответ: 9.
14. Даны восемь натуральных чисел. Первое записано только единицами, второе — только двойками, …, восьмое — только восьмерками. Приведите пример таких чисел, если известно, что одно из них равно сумме всех остальных.
    Решение: Пример: \(11111111 = 2222222 + 333333 + 44444 + 5555 + 666 + 77 + 8\).
    Ответ: \(11111111 = 2222222 + 333333 + 44444 + 5555 + 666 + 77 + 8\).
15. Шахматную доску 8×8 разрезали на несколько равных частей так, что все белые клетки остались неразрезанными, а каждая чёрная клетка оказалась разрезана. Приведите пример такого разрезания, в котором ровно 8 частей.
    Решение: Разрезать доску на 8 вертикальных полос шириной 1 клетка. Каждая полоса содержит 4 белые клетки (целые) и 4 черные (разрезанные).
    Ответ: Разрезание на 8 вертикальных полос.