8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2022 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
Печать
youit.school ©

Школа им. Чуйкова


2022


04.03.2022



  1. В день своего столетия царь Горох заявил: «У одного из моих детей шестеро братьев, а у другого — поровну братьев и сестёр». Какое наибольшее количество детей могло быть у царя Гороха?

  2. Малыш, Карлсон и фрекен Бок едят плюшки. Малыш съедает 2 плюшки за то же время, за которое фрекен Бок съедает 7. Пока она ест 3 плюшки, Карлсон съедает 5. За некоторое время Малыш и фрекен Бок съели 27 плюшек. Сколько плюшек за это время съел Карлсон?

  3. Назовём трёхзначное число высотным, если в нём первая цифра больше суммы оставшихся цифр. Какое наибольшее количество высотных чисел может идти подряд?

  4. В поезде, состоящем из 14 вагонов, едет 600 пассажиров. В любых четырёх последовательных вагонах едет 170 пассажиров. Сколько пассажиров едет в двух средних вагонах?

  5. Пусть мы пишем цифры так, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько способов написать семизначное число так, чтобы при переворачивании листка оно не изменилось?

  6. Ненулевую цифру A многозначного числа назовём хорошей, если она встречается в этом числе ровно A раз. Сколько существует восьмизначных чисел, цифры в которых слева направо не уменьшаются и все являются хорошими?

  7. В каждом углу прямоугольника 10×25 сидит по одной пчеле. Затем в какой-то узел сетки этого прямоугольника упала капля мёда, и все пчёлы поползли к ней (узлом сетки называется пересечение вертикальной и горизонтальной линии, которыми прямоугольник делится на клеточки). Каждая пчела поползла кратчайшим путём, но оставаясь на границах клеточек. Какой суммарный путь могут проползти пчёлы, когда все окажутся у капли мёда? (Нужно указать все варианты)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В день своего столетия царь Горох заявил: «У одного из моих детей шестеро братьев, а у другого — поровну братьев и сестёр». Какое наибольшее количество детей могло быть у царя Гороха?
    Решение: Пусть у царя Гороха $m$ мальчиков и $n$ девочек. Первое условие: у одного из детей 6 братьев $\Rightarrow m = 7$. Второе условие: у другого ребёнка поровну братьев и сестёр. Если этот ребёнок — девочка, то у неё $m = 7$ братьев и $n-1$ сестёр. Тогда $7 = n-1 \Rightarrow n = 8$. Общее количество детей: $7 + 8 = 15$. Если ребёнок — мальчик, то $n = m-1 = 6$, что даёт меньшее общее количество ($7 + 6 = 13$). Наибольшее возможное количество — 15.
    Ответ: 15.
  2. Малыш, Карлсон и фрекен Бок едят плюшки. Малыш съедает 2 плюшки за то же время, за которое фрекен Бок съедает 7. Пока она ест 3 плюшки, Карлсон съедает 5. За некоторое время Малыш и фрекен Бок съели 27 плюшек. Сколько плюшек за это время съел Карлсон?
    Решение: Скорости: Малыш — 2 п/ед.времени, фрекен Бок — 7 п/ед.времени. За время $t$ они съели $2t + 7t = 9t = 27 \Rightarrow t = 3$. Карлсон ест $\frac{5}{3}$ скорости фрекен Бок. За время $t = 3$ он съест $\frac{5}{3} \cdot 7 \cdot 3 = 35$ плюшек.
    Ответ: 35.
  3. Назовём трёхзначное число высотным, если в нём первая цифра больше суммы оставшихся цифр. Какое наибольшее количество высотных чисел может идти подряд?
    Решение: Рассмотрим числа от 900 до 908. Первая цифра 9, сумма двух последних: от 0+0=0 до 0+8=8. Все числа 900-908 высотные (9 > сумма). Далее 909: 9 ≯ 9. Максимальная последовательность — 9 чисел.
    Ответ: 9.
  4. В поезде, состоящем из 14 вагонов, едет 600 пассажиров. В любых четырёх последовательных вагонах едет 170 пассажиров. Сколько пассажиров едет в двух средних вагонах?
    Решение: Из условия периодичности вагонов ($v_{i+4} = v_i$) сумма двух средних вагонов $v_7 + v_8 = v_3 + v_4$. Из уравнения $v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 170$ и $v_1 + v_2 = 90$ получаем $v_3 + v_4 = 80$.
    Ответ: 80.
  5. Пусть мы пишем цифры так, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько способов написать семизначное число так, чтобы при переворачивании листка оно не изменилось?
    Решение: Центральная цифра — 0,1,8 (3 варианта). Пары симметричных позиций: (1-7), (2-6), (3-5). Каждая пара может быть 00,11,88,69,96. Первая цифра не может быть 0 ⇒ 4 варианта для первой пары, 5 для остальных. Итого: $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 300$.
    Ответ: 300.
  6. Ненулевую цифру A многозначного числа назовём хорошей, если она встречается в этом числе ровно A раз. Сколько существует восьмизначных чисел, цифры в которых слева направо не уменьшаются и все являются хорошими?
    Решение: Возможные комбинации:
    • 88888888 (1 вариант)
    • 33355555 (3 и 5 встречаются 3 и 5 раз)
    • 22666666 (2 и 6 встречаются 2 и 6 раз)
    • 12255555 (1,2,5 встречаются 1,2,5 раз)
    • 22333333 (2 и 3 встречаются 2 и 3 раз)
    Всего 5 чисел.
    Ответ: 5.
  7. В каждом углу прямоугольника 10×25 сидит по одной пчеле. Затем в какой-то узел сетки этого прямоугольника упала капля мёда, и все пчёлы поползли к ней. Какой суммарный путь могут проползти пчёлы, когда все окажутся у капли мёда?
    Решение: Сумма кратчайших путей из всех углов в точку $(x,y)$: $x+y + x+(25-y) + (10-x)+y + (10-x)+(25-y) = 70$. Суммарный путь всегда 70.
    Ответ: 70.
Материалы школы Юайти