Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2022

Вариант 1

1. В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?
   
   
2. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 4 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 25 обменов?
   
   
3. Можно ли прямоугольник 7×6 разрезать на пять квадратов (квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно)?
   
   
4. В четырёхэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл сотый домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?
   
   
5. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
   
   
6. Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу – впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру – на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.
   
   
7. В парке стоит аттракцион «колесо обозрения». Все кабины расположены по кругу на колесе на одинаковом расстоянии друг от друга и последовательно пронумерованы числами 1, 2, 3, .... В тот момент, когда кабина 25 достигает самого низа, кабина 8 находится на самом верху. Сколько кабин на колесе?
   
   
8. Напишите такие 7 последовательных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек (последовательные числа отличаются на 1).
   
   
9. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому нужно 50 наклеек, а второму и третьему — по 70 наклеек. Продавец за одну секунду отсчитывает ровно одну наклейку. За какое наименьшее время продавец может справиться с заказом?
   
   
10. Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо чёрные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 14 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с чёрными колпаками, а среди любых 16 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?

Решения задач

1. В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?
   Решение: Пусть в первом аквариуме было \( x \) рыбок, тогда во втором — \( 100 - x \). После отселения:
   \( x - 30 = (100 - x) - 40 \)
   \( x - 30 = 60 - x \)
   \( 2x = 90 \)
   \( x = 45 \)
   Ответ: 45 и 55 рыбок.
   
   
2. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 4 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 25 обменов?
   Решение: Каждый обмен увеличивает количество наклеек на 3. После 25 обменов:
   \( 1 + 3 \cdot 25 = 76 \)
   Ответ: 76.
   
   
3. Можно ли прямоугольник 7×6 разрезать на пять квадратов (квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно)?
   Решение: Площадь прямоугольника \( 7 \times 6 = 42 \). Суммарная площадь пяти квадратов должна быть 42. Пример разбиения:
   Квадраты \( 5 \times 5 \), \( 2 \times 2 \), \( 3 \times 3 \), \( 2 \times 2 \), \( 2 \times 2 \). Сумма площадей: \( 25 + 4 + 9 + 4 + 4 = 46 \) — не подходит. Другой вариант невозможен.
   Ответ: Нельзя.
   
   
4. В четырёхэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл сотый домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?
   Решение: Цикл движения лифта: 1→2→3→4→3→2→1 (6 остановок). За цикл заходит 6 домовых.
   \( 100 = 16 \cdot 6 + 4 \). После 16 циклов (96 домовых) осталось 4 остановки: 1→2→3→4.
   Ответ: 4 этаж.
   
   
5. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
   Решение: Пусть длины частей \( a \), \( b \), \( c \). Тогда:
   \( \frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} = 16 \)
   \( a + b + c = 28 \)
   Подставляем \( a + c = 28 - b \):
   \( \frac{28 - b}{2} + b = 16 \)
   \( 14 + \frac{b}{2} = 16 \)
   \( b = 4 \)
   Ответ: 4 км.
   
   
6. Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу – впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру – на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.
   Решение: Пусть Чижу досталось \( x \) долек. Тогда:
   Ёж: \( 2x \), Бобр: \( 5x \), \( 5x - x = 8 \Rightarrow x = 2 \).
   Всего: \( 2 + 4 + 10 = 16 \).
   Ответ: 16.
   
   
7. В парке стоит аттракцион «колесо обозрения». Все кабины расположены по кругу на колесе на одинаковом расстоянии друг от друга и последовательно пронумерованы числами 1, 2, 3, ... В тот момент, когда кабина 25 достигает самого низа, кабина 8 находится на самом верху. Сколько кабин на колесе?
   Решение: Разница между кабинами 25 и 8: \( 25 - 8 = 17 \). Половина окружности соответствует \( \frac{N}{2} \), где \( N \) — количество кабин.
   \( 17 = \frac{N}{2} \Rightarrow N = 34 \).
   Ответ: 34.
   
   
8. Напишите такие 7 последовательных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек (последовательные числа отличаются на 1).
   Решение: Пример: 2220, 2221, 2222, 2223, 2224, 2225, 2226. Сумма двоек: 3+3+4+3+3+3+3=22 (не подходит). Корректный пример: 5822, 5823, 5824, 5825, 5826, 5827, 5828. Сумма: 2+1+1+1+1+1+1=8 (неверно). Ответ требует уточнения.
   
   
9. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому нужно 50 наклеек, а второму и третьему — по 70 наклеек. Продавец за одну секунду отсчитывает ровно одну наклейку. За какое наименьшее время продавец может справиться с заказом?
   Решение: Максимальное время — 70 секунд (параллельное отсчитывание).
   Ответ: 70 секунд.
   
   
10. Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо чёрные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 14 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с чёрными колпаками, а среди любых 16 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?
    Решение: Периодичность 14 мудрецов (7 белых и 7 чёрных). Максимальная длина без нарушения условия для 16: 27 мудрецов.
    Ответ: 27.