Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Школа им. Чуйкова

2022

04.03.2022

1. В день своего столетия царь Горох заявил: «У одного из моих детей семеро братьев, а у другого — поровну братьев и сестёр». Какое наибольшее количество детей могло быть у царя Гороха?
   
   
2. Малыш, Карлсон и фрекен Бок едят плюшки. Малыш съедает 3 плюшки за то же время, за которое фрекен Бок съедает 8. Пока она ест 3 плюшки, Карлсон съедает 7. За некоторое время Малыш и фрекен Бок съели 33 плюшки. Сколько плюшек за это время съел Карлсон?
   
   
3. Назовём трёхзначное число высотным, если в нём средняя цифра больше суммы крайних цифр. Какое наибольшее количество высотных чисел может идти подряд?
   
   
4. В поезде, состоящем из 18 вагонов, едет 700 пассажиров. В любых пяти последовательных вагонах едет 199 пассажиров. Сколько пассажиров едет в двух средних вагонах?
   
   
5. Сколькими способами в таблице 3×2 можно расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждой строке и каждом столбце сумма чисел делилась на 3?
   
   
6. Ненулевую цифру A многозначного числа назовём хорошей, если она встречается в этом числе ровно A раз. Сколько существует девятизначных чисел, цифры в которых слева направо не уменьшаются и все являются хорошими?
   
   
7. В каждом углу прямоугольника 14×20 сидит по одной пчеле. Затем в какой-то узел сетки этого прямоугольника упала капля мёда, и все пчёлы поползли к ней (узлом сети называется пересечение вертикальной и горизонтальной линии, которыми прямоугольник делится на клеточки). Каждая пчела поползла кратчайшим путём, но оставаясь на границах клеточек. Какой суммарный путь могут проползти пчёлы, когда все окажутся у капли мёда? (Нужно указать все варианты и объяснить, почему других нет.)

Решения задач

1. В день своего столетия царь Горох заявил: «У одного из моих детей семеро братьев, а у другого — поровну братьев и сестёр». Какое наибольшее количество детей могло быть у царя Гороха?
   Решение: У первого ребёнка 7 братьев $\Rightarrow$ сыновей не менее 8. У второго ребёнка (пусть это девочка) братьев и сестёр поровну: $B = S$. Общее количество детей: $B + S + 1 = 2B + 1$. При $B = 8$ получаем $2 \cdot 8 + 1 = 17$ детей. Проверка: у сына 7 братьев (8 сыновей), у дочери 8 братьев и 8 сестёр.
   Ответ: 17.
2. Малыш, Карлсон и фрекен Бок едят плюшки. Малыш съедает 3 плюшки за то же время, за которое фрекен Бок съедает 8. Пока она ест 3 плюшки, Карлсон съедает 7. За некоторое время Малыш и фрекен Бок съели 33 плюшки. Сколько плюшек за это время съел Карлсон?
   Решение: Скорости: Малыш — 3 п/ед.времени, фрекен Бок — 8 п/ед.времени. Карлсон: за время $\frac{3}{8}$ ест 7 плюшек $\Rightarrow$ скорость $\frac{56}{3}$ п/ед.времени. Время $T$: $3T + 8T = 33 \Rightarrow T = 3$. Карлсон съел $\frac{56}{3} \cdot 3 = 56$ плюшек.
   Ответ: 56.
3. Назовём трёхзначное число высотным, если в нём средняя цифра больше суммы крайних цифр. Какое наибольшее количество высотных чисел может идти подряд?
   Решение: Пример последовательности: 190, 191, ..., 197 (8 чисел). Средняя цифра 9, сумма крайних $1 + c 1 + c$ выполняется для всех.
   Ответ: 8.
4. В поезде, состоящем из 18 вагонов, едет 700 пассажиров. В любых пяти последовательных вагонах едет 199 пассажиров. Сколько пассажиров едет в двух средних вагонах?
   Решение: Вагоны периодичны с периодом 5: $v_i = v_{i+5}$. Сумма пяти вагонов: $199 = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5$. Общая сумма: $3 \cdot 199 + v_1 + v_2 + v_3 = 700 \Rightarrow v_1 + v_2 + v_3 = 103$. Средние вагоны 9 и 10: $v_4 + v_5 = 199 - 103 = 96$.
   Ответ: 96.
5. Сколькими способами в таблице 3×2 можно расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждой строке и каждом столбце сумма чисел делилась на 3?
   Решение: Остатки чисел по модулю 3: [1,2,0,1,2,0]. Каждая строка должна содержать пары остатков (0,0), (1,2) или (2,1). Каждый столбец — тройки остатков с суммой 0. Распределение остатков: 8 вариантов выбора чисел для столбцов × 6 перестановок строк.
   Ответ: 48.
6. Ненулевую цифру A многозначного числа назовём хорошей, если она встречается в этом числе ровно A раз. Сколько существует девятизначных чисел, цифры в которых слева направо не уменьшаются и все являются хорошими?
   Решение: Возможные комбинации вхождений: 9; 8+1; 7+2; 6+3; 5+4; 6+2+1; 5+3+1; 4+3+2. Каждая комбинация задаёт одно число с неубывающими цифрами.
   Ответ: 8.
7. В каждом углу прямоугольника 14×20 сидит по одной пчеле. Затем в какой-то узел сетки этого прямоугольника упала капля мёда, и все пчёлы поползли к ней. Какой суммарный путь могут проползти пчёлы?
   Решение: Суммарный путь: $2(|x| + |14 - x|) + 2(|y| + |20 - y|) = 2 \cdot 14 + 2 \cdot 20 = 68$ независимо от положения капли.
   Ответ: 68.