Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2020 год

1. В одной из трёх комнат скрывается лев. На двери первой комнаты написано: «Лев не здесь», на двери второй комнаты: «Лев здесь» а на двери третьей комнаты «$1234 \times 4321 = 5332114$». Только одна из надписей является правдивой. В какой комнате скрывается лев?
2. Последовательность $2, 3, 6, 8, 8,\dots$ получена следующим образом. Два первых числа равны 2 и 3, каждое следующее число равно последней цифре произведения двух предыдущих чисел. Найдите 2020-е число этой последовательности.
3. Нарисуйте окружность, квадрат и треугольник так, чтобы получилось суммарно 20 точек пересечения у этих фигур.
4. У Дианы есть 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. К некоторым из них она прибавила 2, а к остальным — прибавила 5. Какое наименьшее количество различных результатов у неё могло получиться?
5. Лена строит куб $4\times4\times4$ из 32 белых и 32 чёрных единичных кубиков. Она хочет, чтобы как можно большая часть поверхности этого куба была белой. Сколько белых квадратиков на поверхности у неё получится?

Решения задач

1. В одной из трёх комнат скрывается лев. Надпись на третьей комнате: «$1234 \times 4321 = 5332114$» является верной, так как $1234 \times 4321 = 5332114$. Если предположить, что лев в третьей комнате, то надпись на первой комнате («Лев не здесь») тоже будет правдивой (лев не в первой). Но по условию только одна надпись истинна. Значит, лев в первой комнате: надпись на первой комнате ложь («Лев не здесь»), на второй ложно («Лев здесь»), на третьей верно (рассчитанное равенство). Это единственный сценарий с одной правдивой надписью.
   Ответ: лев в первой комнате.
   
   
2. Последовательность: $2, 3, 6, 8, 8, 4, 2, 8, 6, 8, 8, 4, 2, 8, 6,\dots$ После первых двух чисел формируется цикл длиной 6: $6, 8, 8, 4, 2, 8$. Первые два числа (2,3) не входят в цикл. Начиная с третьего элемента последовательности, находим остаток от деления позиции 2020 на 6: $(2020 - 2) = 2018$. 2018 mod 6 = 2. В цикле на второй позиции стоит 8.
   Ответ: 8.
3. Окружность пересекает квадрат 8 раз, треугольник пересекает окружность 6 раз, а квадрат пересекает треугольник 6 раз. Суммарно: $8 + 6 + 6 = 20$. Пример: окружность расположена вокруг квадрата, разрезая его стороны пополам; треугольник пересекает окружность и квадрат под разными углами.
   Ответ: рисуем окружность, квадрат и треугольник так, чтобы количество точек пересечения пар фигур составило 8 + 6 + 6 = 20.
4. Пары чисел: к $1,2,3,4,5,6$ прибавили 5, к $4,5,6,7,8,9$ прибавили 2. Результаты совпадают: $6,7,8,9,10,11$. Таким образом, минимальное количество различных результатов — 6.
   Ответ: 6.
5. Максимальное количество белых поверхностных квадратов ― 72. Расставляем все белые кубики в углы и рёбра куба. Угловые кубики (8 штук) добавляют $8 \times 3 = 24$ белых квадратов, рёбра (24 кубика) ― $24 \times 2 = 48$. Итого: $24 + 48 = 72$.
   Ответ: 72.