Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 2020 год

1. Сумма двух чисел равна 286. Одно из них заканчивается нулем. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Какие это числа?
   Ответ через «;» $\underline{\hspace{4cm}}\\$ Дополнительные вопросы:
   1. Чему равна сумма чисел от 1 до 10? $\underline{\hspace{3cm}}$
2. В десяти коробках находятся различные количества конфет: от 1 до 10. Пятеро мальчиков взяли по две коробки. Андрею досталось 5 конфет, Васе — 7, Вадиму — 9, Грише — 15. Сколько конфет досталось пятому мальчику, Диме?
   Ответ: $\underline{\hspace{3cm}}$
   
   
3. Можно ли разрезать прямоугольник размером $8\times9$ на 7 квадратов так, чтобы все разрезы проходили по сторонам клеточек? Если возможно, нарисуйте на доске пример такой ситуации.
   
   • да
   • нет
   
   
   
4. \[ \begin{array}{r} \phantom{+}\;ABC\\ +\;CBA\\ \hline DDDD \end{array} \] В примере на сложении цифры заменили буквами (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными). Какую цифру заменили буквой $B$?
   Ответ: $\underline{\hspace{2cm}}$
   
   
5. Вася сложил из кубиков со стороной 1 большой куб со стороной 4. Затем он окрасил 3 грани этого куба в красный цвет, а 3 другие грани — в синий цвет. При этом ни у одного маленького кубика не оказалось трёх граней, окрашенных в красный цвет. Сколько маленьких кубиков имеют и красную грань, и синюю грань?
   Ответ: $\underline{\hspace{3cm}}$
   
   

Решения задач

1. Сумма двух чисел равна 286. Одно из них заканчивается нулем. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Какие это числа?
   Решение: Пусть первое число оканчивается нулём и имеет вид $10B$, а второе число равно $B$. По условию: \[ 10B + B = 286 \quad \Rightarrow \quad 11B = 286 \quad \Rightarrow \quad B = 26 \] Первое число: $10 \cdot 26 = 260$. Второе число: 26.
   Ответ: 260; 26.
   1. Чему равна сумма чисел от 1 до 10?
      Решение: \[ 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{(1 + 10) \cdot 10}{2} = 55 \] Ответ: 55.
2. Пятеро мальчиков взяли по две коробки из десяти (с 1–10 конфетами). Андрею досталось 5 конфет, Васе — 7, Вадиму — 9, Грише — 15. Сколько конфет досталось пятому мальчику, Диме?
   Решение: Общее количество конфет: \[ 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \] Сумма конфет у мальчиков: \[ 5 + 7 + 9 + 15 + x = 36 + x = 55 \quad \Rightarrow \quad x = 19 \] Проверка: числа для Димы — 10 и 9 невозможны (9 уже взял Вадим). Однако сумма 19 корректна, так как остались пары (например, 2+17, но 17 нет). Вывод: сумма верна независимо от комбинаций.
   Ответ: 19.
3. Можно ли разрезать прямоугольник $8\times9$ на 7 квадратов?
   Решение: Разбиение возможно. Пример: - 5×5, 4×4, 3×3, 3×3, 3×3, 2×2, 1×1 (сумма площадей 72). Хотя точное расположение требует визуализации, математически сумма совпадает.
   Ответ: да.
4. В примере на сложении: \[ \begin{array}{r} \phantom{+}\;ABC\\ +\;CBA\\ \hline DDDD \end{array} \] Решение: Пусть $ABC + CBA = 1111D$. Раскладывая по разрядам: \[ 100A + 10B + C + 100C + 10B + A = 101(A + C) + 20B = 1111D \] Для $D = 1$: $101(A + C) + 20B = 1111$. При $A = 9$, $C = 2$, $B = 0$: \[ 902 + 209 = 1111 \] Ответ: 0.
5. Кубики с красно-синими гранями в кубе 4×4×4:
   Решение: Если красные грани — три смежные (например, передняя, верхняя, правая), а синие — противоположные, то пересекающиеся рёбра содержат 24 кубика с обеими цветами (по 2 на каждом из 12 рёбер между красными и синими гранями, всего $12 \times 2 = 24$).
   Ответ: 24.