Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 3 в 4 класс 2021 год

1. Число \(111\ldots111\) (2020 единиц) умножили 101. Какова сумма цифр произведения?
   Дополнительные вопросы:
   1. Сколько цифр 1 в произведении?
   2. Сколько цифр 2 в произведении?
   
   
   
2. Кузя напечатал 10000 квадратиков со стороной 1~см, после этого у него в картридже закончились чернила. Сколько квадратиков со стороной 2~см он сможет напечатать, если у него есть полный картридж, аналогичный имевшемуся?
   
   
3. Женя, Катя, Света и Лена родились 1 марта, 17 мая, 20 июля и 20 марта. Катя и Света родились в один и тот же месяц, а Женя и Света родились в один и тот же день месяца. Кто родился 17 мая?
   • Женя
   • Катя
   • Света
   • Лена
   
   
   
4. В записи (\(*+*+*+*+*=*=**)\) замените звездочки различными цифрами так, чтобы равенство стало верным. Запишите выражение, которое у вас получилось:
   
   
5. У Саши и Вовы вместе 60 спичек. Сначала Саша составил треугольник, каждая сторона которого состоит из шести спичек. Затем из всех оставшихся спичек Вова составил прямоугольник, одна из сторон которого также состоит из шести спичек. Из какого количества спичек состоит вторая сторона прямоугольника?
   
   
6. Какого наименьшего размера квадрат можно сложить из пятиклеточных фигур, изображённых на рисунке? Фигуры можно двигать и поворачивать, но нельзя переворачивать обратной стороной. В ответе напишите количество клеток на одной стороне квадрата.
   
   
   
   
   
7. Сколько дат в году (год считаем невисокосным, т.е. в году 365 дней) могли бы оказаться на экране цифровых часов в качестве времени? Например, 19 июня – 19:06, а 27 ноября никакому времени не соответствует.
8. Про домовёнка Кузю издано 40 статей. Кузя решил заняться их чтением с целью узнать о себе что-нибудь новое. Каждый день Кузя читает по 6 статей, но при этом издаётся 8 новых. Через сколько дней Кузя догонит издателей?

Решения задач

1. Число \(111\ldots111\) (2020 единиц) умножили на 101. Какова сумма цифр произведения?
   Решение: При умножении числа из 2020 единиц на 101 происходит "сдвиг" каждой единицы на два разряда и сложение с исходным числом.
   В результате получится число вида $1122\ldots2211$: в начале две единицы, затем повторяющиеся пары (1+1=2) и в конце две единицы. Всего получится 2020 + 2 - 1 = 2021 цифр. Сумма цифр рассчитывается как: 2 (единицы в начале) + 2 (единицы в конце) + 2017 цифр по центру (2 и 1 по очереди). Всего сумма цифр:
   $1 + 1 + (2 \cdot 2017) = 1 + 1 + 4034 = 4036$.
   Ответ: 4036.
   1. Сколько цифр 1 в произведении?
      Ответ: Центральные пары (2 и 1) образуются добавлением единиц, поэтому цифры 1 присутствуют только в начале и конце. Число начинается на 11 и заканчивается на 11, остальные цифры — 2 и 1 чередуются. Всего цифр 1 равно 4.
      Ответ: 4.
   2. Сколько цифр 2 в произведении?
      Ответ: Пары (2), за исключением начала и конца, составляют 2017 пар. Каждая пара содержит одну двойку и одну единицу.
      Ответ: 2017.
2. Кузя напечатал 10000 квадратиков со стороной 1~см, после этого у него в картридже закончились чернила. Сколько квадратиков со стороной 2~см он сможет напечатать, если у него есть полный картридж, аналогичный имевшемуся?
   Решение: Площадь одного квадрата 1×1 см — 1 см². Квадрат 2×2 см занимает 4 см². Картридж содержит чернил на 10000 см², поэтому квадратов будет:
   \( \frac{10000}{4} = 2500 \).
   Ответ: 2500.
3. Женя, Катя, Света и Лена родились 1 марта, 17 мая, 20 июля и 20 марта. Катя и Света родились в один и тот же месяц, а Женя и Света родились в один и тот же день месяца. Кто родился 17 мая?
   Решение: Катя и Света — в марте: дни 20 марта и 1 марта. Значит, Женя и Света имеют день 20 (Света — 20 марта, Женя — 20 июля). Лена остаётся с 17 мая.
   Ответ: Лена.
4. В записи (\(*+*+*+*+*=*=**)\) замените звездочки различными цифрами так, чтобы равенство стало верным.
   Решение: \((4 + 3 + 2 + 1 + 5) = 15 = 15\). Проверка: суммы пары звездочек уникальны.
   Ответ: \(4 + 3 + 2 + 1 + 5 = 1 = 15\).
5. У Саши и Вовы вместе 60 спичек. Сначала Саша составил треугольник, каждая сторона которого состоит из шести спичек. Затем из всех оставшихся спичек Вова составил прямоугольник, одна из сторон которого также состоит из шести спичек. Из какого количества спичек состоит вторая сторона прямоугольника?
   Решение: Треугольник Саши требует \(3 \times 6 = 18\) спичек. Остаток: \(60 - 18 = 42\) спички. Периметр прямоугольника: \(2 \times (6 + x) = 42\) ⇒ \(6 + x = 21\) ⇒ \(x = 15\).
   Ответ: 15.
6. Какого наименьшего размера квадрат можно сложить из пятиклеточных фигур, изображённых на рисунке?
   Решение: Минимальная площадь квадрата должна быть кратна 5 клеткам. Минимальный возможный квадрат — 5×5 клеток.
   Ответ: 5.
7. Сколько дат в году (невисокосный) могли бы оказаться на экране цифровых часов в качестве времени?
   Решение: Каждому дню месяца \(\leq 23\) соответствует час (dd ≤ 23), а месяцу — минуты (mm ≤ 12 ⇒ допустимо как минуты ≤ 59). Количество дат:
   \(12 \text{ месяцев} \times 23 \text{ дня} = 276\).
   Ответ: 276.
8. Про домовёнка Кузю издано 40 статей. Кузя читает по 6 статей ежедневно, но ежедневно добавляется 8 новых статей. Через сколько дней Кузя догонит издателей?
   Решение: Разница между добавленными и прочитанными статьями: \(8 - 6 = 2\) статьи/день. Кузе необходимо ликвидировать начальный запас 40 статей:
   \( \frac{40}{6 - 8} = \text{невозможно}\).
   Ответ: Кузя никогда не догонит издателей.