Школа им.Чуйкова (Силаэдр) из 3 в 4 класс вариант 2

1. В двух аквариумах вместе 80 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 25 рыбок, а из второго 35, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?
2. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов?
3. Можно ли прямоугольник \(8 \times 6\) разрезать на шесть квадратов? Квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно.
4. В пятиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл сотый домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?
5. Дорогу длиной 25 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 15 км. Найдите длину средней части.
6. Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилось половина от общего количества пирожков. Пирожков с черникой — на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?
7. В парке стоит аттракцион «колесо обозрения». Все кабины расположены по кругу на колесе на одинаковом расстоянии друг от друга и последовательно пронумерованы числами \(1,2,3,\dots\). В тот момент, когда кабина 28 достигает самого низа, кабина 5 находится на самом верху. Сколько кабин на колесе?
8. Напишите такие 7 последовательных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 17 троек (последовательные числа отличаются на 1).
9. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому нужно 70 наклеек, а второму и третьему — по 60 наклеек. Продавец за одну секунду отсчитывает ровно одну наклейку. За какое наименьшее время продавец может справиться с заказом?
10. Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 12 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 14 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?

Решения задач

1. В двух аквариумах вместе 80 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 25 рыбок, а из второго 35, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?
   Решение: Пусть в первом аквариуме было \(x\) рыбок, тогда во втором — \((80 - x)\).
   После отселения осталось:
   Первый аквариум: \(x - 25\),
   Второй аквариум: \((80 - x) - 35 = 45 - x\).
   По условию: \(x - 25 = 45 - x\)
   \(2x = 70 \quad \Rightarrow \quad x = 35\)
   Ответ: 35 и 45 рыбок.
2. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов?
   Решение: Каждый обмен увеличивает количество наклеек на \(5 - 1 = 4\).
   После 30 обменов: \(1 + 30 \cdot 4 = 1 + 120 = 121\).
   Ответ: 121 наклейка.
3. Можно ли прямоугольник \(8 \times 6\) разрезать на шесть квадратов? Квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно.
   Решение: Например:
   1. Квадрат \(6 \times 6\), остаётся полоса \(6 \times 2\).
   2. Полосу \(6 \times 2\) можно разрезать на три квадрата \(2 \times 2\) и три полосы \(2 \times 2\), что невозможно.
   Следовательно, данное разбиение не подходит. Доказано, что прямоугольник \(8 \times 6\) нельзя разрезать на шесть квадратов.
   Ответ: Нельзя.
4. В пятиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл сотый домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?
   Решение: Полный цикл движения лифта (вверх-вниз) включает \(5 \cdot 2 - 2 = 8\) этажей.
   За один цикл заходит 8 домовых.
   \(100 : 8 = 12\) циклов (остаток 4).
   Последние 4 домовых заходят на этажах: 1, 2, 3, 4.
   Ответ: На 4-м этаже.
5. Дорогу длиной 25 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 15 км. Найдите длину средней части.
   Решение: Обозначим части \(a, b, c\).
   Середины крайних частей: \(\frac{a}{2}\) и \(a + b + \frac{c}{2}\).
   Расстояние между ними: \(a + b + \frac{c}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} + b + \frac{c}{2}\).
   По условию: \(\frac{a + c}{2} + b = 15\), \(a + b + c = 25\)
   \( \frac{25 - b}{2} + b = 15 \quad \Rightarrow \quad 25 + b = 30 \quad \Rightarrow \quad b = 5 \)
   Ответ: 5 км.
6. Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилось половина от общего количества пирожков. Пирожков с черникой — на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?
   Решение: Пусть всего \(N\) пирожков.
   Малины: \(\frac{N}{2}\);
   Черники: \(\frac{N}{2} - 14\);
   Клубники: \(\frac{\frac{N}{2} + (\frac{N}{2} - 14)}{2} = \frac{N - 14}{2}\).
   Сумма: \(\frac{N}{2} + \frac{N}{2} - 14 + \frac{N - 14}{2} = N\)
   \(\frac{3N - 28}{2} = N \quad \Rightarrow \quad N = 28\)
   Малина: 14, черника: 0 — противоречие. Корректное решение:
   Пусть \(М\) — малина. Тогда \(М + (М - 14) + \frac{2М - 14}{2} = 2М\)
   \(М = 21\), черника: 7, клубника: 14.
   Ответ: 21, 7, 14 пирожков.
7. В парке стоит аттракцион «колесо обозрения». Все кабины расположены по кругу на колесе на одинаковом расстоянии друг от друга и последовательно пронумерованы числами \(1,2,3,\dots\). В тот момент, когда кабина 28 достигает самого низа, кабина 5 находится на самом верху. Сколько кабин на колесе?
   Решение: Разница между кабинами: \(28 - 5 = 23\).
   Это соответствует половине общего числа кабин \(N\).
   \(N = 2 \cdot 23 = 46\).
   Ответ: 46 кабин.
8. Напишите такие 7 последовательных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 17 троек (последовательные числа отличаются на 1).
   Решение: Пример последовательности: 23432–23438.
   Подходят числа: 3333, 3334, ..., 3339 (подсчёт требуемых цифр).
   Конкретный пример:
   3333333, 3333334, ..., 3333339 — суммарно 17 троек. Ответ: Например, 3330–3336.
9. У продавца есть 3 пачки наклеек по 100 штук в каждой. К нему подошли трое покупателей. Первому нужно 70 наклеек, а второму и третьему — по 60 наклеек. Продавец за одну секунду отсчитывает ровно одну наклейку. За какое наименьшее время продавец может справиться с заказом?
   Решение: Параллельное отсчитывание из разных пачек:
   70 с из первой, 60 из второй и 60 из третьей.
   Максимальное время — 70 секунд.
   Ответ: 70 секунд.
10. Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 12 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 14 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?
    Решение: Максимальная длина — 23 мудреца.
    Обоснование: При периоде 12, но условие с 14 нарушает равномерность.
    Пример: чередование 6 белых и 6 чёрных. Для 14 последовательных всегда будет дисбаланс.
    Ответ: 23 мудреца.