Школа им.Чуйкова (Силаэдр) из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

1. Сколько клеток нужно закрасить в прямоугольнике $5\times4$, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была закрашена хотя бы одна клетка?
2. Вычислите: \[ 5\cdot3 + 5\cdot(3+7) - 5\cdot(5+4)\colon3 \]
3. Ручка тяжелее карандаша в три раза. Ручка весит 24 грамма. Найдите массу пяти карандашей.
4. У Васи 6 ожерелий, по 28 бусинок в каждом. У Аллы 5 ожерелий. Известно, что в сумме у Аллы на 8 бусинок меньше. Сколько бусинок в одном ожерелье Аллы?
5. Некто прожил 34 года, 34 месяца, 34 недели, 34 дня и 34 часа. Сколько ему лет?
6. В ряд стоят числа от 1 до 9. Известно, что любые два числа, стоящие через одно, различаются на 1. Приведите пример ряда, в котором 3 и 6 стоят рядом.
7. В прямоугольнике $9\times11$, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
8. Андрей назвал все натуральные числа от 190 до 230 включительно («сто девяносто», «сто девяносто один» и т. д.). Сколько слов он произнёс?
9. На плоскости отметили 8 точек, затем каждые две из них соединили отрезком. Какое наибольшее число таких отрезков может пересечь прямая, которая не проходит ни через одну из этих точек?
10. На доске написано число 845. За один ход к числу можно прибавить любую ненулевую цифру, которая в нём содержится. Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы число оставалось нечётным?
11. Напомним, что игра в «морской бой» начинается с того, что на доске размером $10\times10$ клеток расставляют один «корабль» из четырёх клеток, два — из трёх клеток, три — из двух, и четыре одноклеточных. По правилам, «корабли» не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить поле для игры, оставив его квадратным, так, чтобы можно было расставить корабли, не нарушив правило?
12. На прямой стоят в ряд пять домов, причём в каждом живёт разное число жителей, больше 1. Соседями называются люди, живущие в одном или в соседних домах. Известно, что у каждого жителя ровно 15 соседей или ровно 20 соседей. Сколько жителей живёт в среднем доме?
13. Есть прямоугольный остров, разбитый на несколько прямоугольных участков, принадлежащих фермерам. В ответ на заданный каждому фермеру вопрос «сколько у Вас соседей?» было дано ровно два вида ответов: «три» и «восемь» (участки соседние, если у них есть общий отрезок границы). При каком наименьшем количестве участков такое возможно?
14. Даны восемь натуральных чисел. Первое записано только единицами, второе — только двойками, …, восьмое — только восьмерками. Приведите пример таких чисел, если известно, что одно из них равно сумме всех остальных (запишите ответ в виде равенства).
15. Шахматную доску $8\times8$ разрезали на несколько равных частей так, что все белые клетки остались неразрезанными, а каждая чёрная клетка оказалась разрезана. Приведите пример такого разрезания, в котором ровно 8 частей.

Решения задач

1. Сколько клеток нужно закрасить в прямоугольнике $5\times4$, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была закрашена хотя бы одна клетка?
   Решение: Минимальное число клеток равно максимальному из количества строк и столбцов. Для прямоугольника $5\times4$ это $\max(5,4)=5$. Пример: закрасить по одной клетке в каждом столбце и одну дополнительную в любой строке.
   Ответ: 5.
2. Вычислите: \[ 5\cdot3 + 5\cdot(3+7) - 5\cdot(5+4)\colon3 \]
   Решение:
   $5\cdot3=15$, $5\cdot(3+7)=5\cdot10=50$, $5\cdot(5+4)=5\cdot9=45$, $45\colon3=15$. Итог: $15 + 50 -15 =50$.
   Ответ: 50.
3. Ручка тяжелее карандаша в три раза. Ручка весит 24 грамма. Найдите массу пяти карандашей.
   Решение: Масса карандаша: $24\div3=8$ г. Масса пяти карандашей: $5\cdot8=40$ г.
   Ответ: 40 г.
4. У Васи 6 ожерелий, по 28 бусинок в каждом. У Аллы 5 ожерелий. Известно, что в сумме у Аллы на 8 бусинок меньше. Сколько бусинок в одном ожерелье Аллы?
   Решение: У Васи: $6\cdot28=168$ бус. У Аллы: $168 - 8=160$ бус. В одном ожерелье: $160\div5=32$ бусинки.
   Ответ: 32.
5. Некто прожил 34 года, 34 месяца, 34 недели, 34 дня и 34 часа. Сколько ему лет?
   Решение:
   34 месяца = 2 года 10 месяцев (34/12≈2.833). 34 недели ≈8 месяцев (34/4.345≈7.83). 34 дня ≈1.12 месяцев. 34 часа≈0.14 дней. Суммарно: ≈34 + 2.833 + 0.653 + 0.093≈37.58 лет ≈38 лет (округлённо).
   Ответ: 38.
6. В ряд стоят числа от 1 до 9. Известно, что любые два числа, стоящие через одно, различаются на 1. Приведите пример ряда, в котором 3 и 6 стоят рядом.
   Решение: Пример последовательности: 3,6,5,4,7,8,9,2,1. Проверка: числа через одно имеют разность 1 (6-5=1, 4-7=-3?) — позже доработано. Альтернативный пример: 5,6,3,4,7,8,9,2,1.
   Ответ: Пример: 5,6,3,4,7,8,9,2,1.
7. В прямоугольнике $9\times11$, нарисованном на клетчатой бумаге, провели диагональ. Сколько клеточек она разрезала?
   Решение: Формула для пересечённых клеток: $9 +11 - \text{НОД}(9,11)=9+11-1=19$.
   Ответ: 19.
8. Андрей назвал все натуральные числа от 190 до 230 включительно. Сколько слов он произнёс?
   Решение: Слово «сто» —1, каждое число включает названия сотен, десятков и единиц. Подсчёт по количеству чисел с разным числом слов: - 190: 2 слова. - 191-199: 3 слова каждое (9 чисел). - 200:1 слово. - 201-209: 2 слова каждое (9 чисел). - 210:2 слова. - 211-219:2 слова (9 чисел). - 220:2 слова. - 221-229:3 слова (9 чисел). - 230:2 слова. Сумма: $2 + 27 +1 +18 +2 +18 +2 +27 +2=99$.
   Ответ: 99.
9. Какое наибольшее число отрезков может пересечь прямая, если 8 точек соединены попарно?
   Решение: Максимум достигается при разделении точек на две группы по 4: пересекается $4\cdot4=16$ отрезков.
   Ответ: 16.
10. На доске написано число 845. За один ход можно прибавить любую ненулевую цифру, которая в нём содержится. Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы число оставалось нечётным?
    Решение: Пример последовательности: 845 +4=849 →849 +8=857 →857 +8=865 →865 +8=873 →873 +8=881 →881 +8=889 →889 +8=897 →897 +8=905. Всего 8 ходов.
    Ответ: 8.
11. Наименьший размер квадратного поля для морского боя с кораблями без касания?
    Решение: Минимальный размер — $8\times8$. Расположение кораблей с буферными зонами.
    Ответ: 8×8.
12. В среднем доме жителей: заданная система уравнений приводит к числам 9,6,5,4,11. Среднее: $(9+6+5+4+11)/5=7$.
    Ответ: 7.
13. Минимальное число участков на острове: 9 (3×3 сетка). Центральный участок имеет 8 соседей, угловые — 3.
    Ответ: 9.
14. Пример равенства: число из восьмёрок равно сумме остальных чисел: $888 = 111 + 222 + 333 + 7 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$.
    Ответ: $888=111+222+333+1+2+3+4+5+6+7$.
15. Пример разрезания шахматной доски на 8 частей с сохранением белых клеток: вертикальные полосы, пересекающие чёрные клетки.
    Ответ: Разрезание вертикально на 8 столбцов шириной 1 клетка.