Школа им. Чуйкова из 5 в 6 класс 2021

1. В трёх ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом ящике написано «крупа», на втором – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». Что в каком ящике находится, если содержимое каждого из ящиков не соответствует надписи на нём?
2. На бревне сделано несколько пометок синего, красного и зелёного цветов (все пометки различны). Если разрезать бревно по красным пометкам, получится 10 частей. Если по синим — 14 частей, а если по зелёным, то 20 частей. Сколько частей получится, если разрезать бревно сразу по всем пометкам?
3. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?
4. У 35-летнего отца четыре сына. Каждый младше другого на два года, причём старшему 8 лет. Через сколько лет детям вместе будет столько же лет, сколько отцу?
5. Найдите частное, если оно в три раза меньше делимого и в восемь раз больше делителя.
6. Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Аня пришла, взяла треть слив и ушла. Потом вернулась из школы Лиза, взяла треть оставшихся слив и ушла. Наконец пришёл из детского сада Илюша и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые ещё оставались на столе. Сколько всего слив оставила мама?
7. Сумма двух целых чисел равна 573. Одно из них оканчивается единицей. Если её зачеркнуть, получится второе число. Найдите эти числа.
8. В магазине есть 7 разных видов чашек, 4 вида блюдец и 5 видов чайных ложек. Сколькими способами можно составить подарок из двух предметов с разными названиями (например, из чашки и блюдца)?
9. У Паши есть 16 шариков четырёх цветов: красного, зелёного, синего и жёлтого. Известно, что если он возьмёт 11 шариков наугад, то среди них обязательно будет хотя бы один красный, если он возьмёт наугад 12 шариков — то хотя бы один зелёный, а если он возьмёт наугад 13 шариков — хотя бы один синий. Сколько у Паши жёлтых шариков?
10. Нарисуйте пример четырёх государств, в котором каждое имеет общий отрезок границы с каждым.

Решения задач

1. В трёх ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом ящике написано «крупа», на втором – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». Что в каком ящике находится, если содержимое каждого из ящиков не соответствует надписи на нём?
   Решение:
   1. Так как надпись на третьем ящике «крупа или сахар» неверна, там находится вермишель.
   2. Первый ящик с надписью «крупа» содержит сахар (условие несоответствия).
   3. Второй ящик с надписью «вермишель» содержит крупу.
   Ответ: 1-й — сахар, 2-й — крупа, 3-й — вермишель.
2. На бревне сделано несколько пометок синего, красного и зелёного цветов. Если разрезать по красным пометкам, получится 10 частей. Если по синим — 14 частей, а по зелёным — 20 частей. Сколько частей получится, если разрезать бревно по всем пометкам?
   Решение:
   Красных пометок: $10 - 1 = 9$
   Синих: $14 - 1 = 13$
   Зелёных: $20 - 1 = 19$
   Всего пометок: $9 + 13 + 19 = 41$
   Число частей: $41 + 1 = 42$
   Ответ: 42.
3. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?
   Решение:
   Один рыбак съедает одного судака за 5 дней. Значит, десять рыбаков за день съедают $10 \cdot \frac{1}{5} = 2$ судака. Съедят десять судаков за $\frac{10}{2} = 5$ дней.
   Ответ: 5.
4. У 35-летнего отца четыре сына. Каждый младше другого на два года, причём старшему 8 лет. Через сколько лет детям вместе будет столько же лет, сколько отцу?
   Решение: Сумма возрастов сыновей: $8 + 6 + 4 + 2 = 20$ лет. Разница: $35 - 20 = 15$ лет. Ежегодная "скорость сокращения" разницы: $4 - 1 = 3$ года.
   Уравнение: $20 + 4x = 35 + x \implies 3x = 15 \implies x = 5$.
   Ответ: Через 5 лет.
5. Найдите частное, если оно в три раза меньше делимого и в восемь раз больше делителя.
   Решение: Пусть частное $Q$. Тогда делимое $3Q$, делитель $\frac{Q}{8}$. Тогда $Q = \frac{3Q}{Q/8} \implies Q^2 = 24Q \implies Q = 24$. Проверка: делимое $72$, делитель $3$, частное $24$.
   Ответ: 24.
6. Мама оставила сливы. Аня взяла треть, Лиза — треть остатка, Илюша — 4 сливы (треть нового остатка). Сколько слив было?
   Решение: Пусть слив $S$.
   После Ани: $\frac{2}{3}S$.
   После Лизы: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}S = \frac{4}{9}S$. Этот остаток равен $4 \cdot 3 = 12$ слив.
   $\frac{4}{9}S = 12 \implies S = 27$.
   Ответ: 27.
7. Сумма двух целых чисел 573. Одно оканчивается на 1. Найдите числа.
   Решение: Пусть число с окончанием 1 — $10a + 1$. Второе число — $a$.
   Уравнение: $10a + 1 + a = 573 \implies 11a = 572 \implies a = 52$. Ответ: $521 + 52$.
   Ответ: 521 и 52.
8. Сколькими способами можно составить подарок из двух предметов разных видов?
   Решение: Сочетание чашки и блюдца: $7 \cdot 4 = 28$; чашки и ложки: $7 \cdot 5 =35$; блюдца и ложки: $4 \cdot 5=20$. Всего: $28 + 35 + 20 = 83$.
   Ответ: 83.
9. Сколько жёлтых шариков у Паши?
   Решение: Максимум не красных шариков: 10 (зелёные + синие + жёлтые). Максимум без зелёных:11 (красные + синие + жёлтые). Максимум без синих:12 (красные + зелёные + жёлтые).
   Минимальное количество других цветов: красные≥6, зелёные≥5, синие≥4. Тогда жёлтых: $16 - (6 +5 +4) = 1$.
   Ответ: 1.
10. Пример четырёх государств, каждое из которых граничит с остальными тремя.
    Решение: Конфигурация из четырёх областей, где каждая имеет общие грани с другими.