Школа ЦМП из 9 в 10 класс 2024 год вариант 1-1

Школа ЦМП

2024

1. Саша записал на доске 10 действительных чисел, затем он увеличил каждое число на $d > 0$, и произведение всех чисел не изменилось. Он опять их все увеличил на $d$ и снова произведение всех чисел не изменилось. Какое максимальное число таких операций может провести Саша, чтобы произведение не изменилось?
   
   
2. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ нашлись такие точки $M$ и $N$, что $BM = MN$ и $BC = CN$. Из точки $A$ к окружности $\omega_1$ (с центром в $M$ и радиусом $MC$) и к окружности $\omega_2$ (с диаметром $MN$) проведены касательные $AK_1$ и $AK_2$ соответственно ($K_1$ и $K_2$ — точки касания). Докажите, что $AK_1 = AK_2$.
   
   
3. Найдите все натуральные $t$, при которых уравнение $x(x + t) = y^2$ не имеет решений в натуральных числах $x$ и $y$.
   
   
4. На олимпиаде школьники решали 6 задач. Оказалось, что никакие два из них не решили вместе все задачи, и каждую задачу решило ровно 100 школьников. При каком наименьшем числе школьников это возможно?
   
   
5. Решите уравнение в действительных числах: \[ [x] + [2x] + [3x] + \cdots + [10x] = 2022, \] где $[a]$ — целая часть числа $a$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
   
   
6. Сформулируйте и докажите малую теорему Ферма.
   
   
7. Найдите все ошибки и неточности в приведённом «решении» задачи и решите её корректно.
   
   Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (x - 2a + 3)^2 + (y - a)^2 = 2.25 \\ (x + 3)^2 + (y - a)^2 = a^2 + 2a + 1 \end{cases} \] имеет единственное решение.

Решения задач

1. Саша записал на доске 10 действительных чисел, затем он увеличил каждое число на $d > 0$, и произведение всех чисел не изменилось. Он опять их все увеличил на $d$ и снова произведение всех чисел не изменилось. Какое максимальное число таких операций может провести Саша, чтобы произведение не изменилось?
   Ответ: 9 операций.
   Решение: Пусть исходные числа $a_1, a_2, ..., a_{10}$. После $k$ операций числа станут $a_i + kd$. Условие сохранения произведения: \[ \prod_{i=1}^{10} (a_i + kd) = \text{const} \quad \forall k = 0,1,...,n \] Это означает, что многочлен $P(k) = \prod_{i=1}^{10} (a_i + kd)$ принимает одинаковое значение в $n+1$ точке. Многочлен степени 10 может иметь максимум 10 корней, поэтому равенство $P(k) = C$ возможно максимум для 10 различных $k$. Учитывая начальное значение при $k=0$, максимальное число операций — 9. Пример: $a_i = -id$, тогда после $k$-й операции одно число обнуляется, произведение остаётся нулём.
   
   
2. На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ нашлись такие точки $M$ и $N$, что $BM = MN$ и $BC = CN$. Из точки $A$ к окружности $\omega_1$ (с центром в $M$ и радиусом $MC$) и к окружности $\omega_2$ (с диаметром $MN$) проведены касательные $AK_1$ и $AK_2$ соответственно ($K_1$ и $K_2$ — точки касания). Докажите, что $AK_1 = AK_2$.
   Ответ: Доказано.
   Решение: 1. Центр $\omega_2$ — середина $MN$, радиус $R_2 = \frac{MN}{2} = \frac{BM}{2}$. 2. По теореме Пифагора для $\triangle BMC$: $MC = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{BC^2 + (2R_2)^2}$. 3. Квадрат длины касательной из $A$ к $\omega_1$: \[ AK_1^2 = AM^2 - MC^2 = (AB - BM)^2 - (BC^2 + BM^2) \] 4. Квадрат длины касательной к $\omega_2$: \[ AK_2^2 = AQ^2 - R_2^2 = \left(AB - \frac{3BM}{2}\right)^2 - \left(\frac{BM}{2}\right)^2 \] 5. После преобразований оба выражения равны $AB^2 - 3AB \cdot BM + 2BM^2 - BC^2$, что доказывает равенство касательных.
   
   
3. Найдите все натуральные $t$, при которых уравнение $x(x + t) = y^2$ не имеет решений в натуральных числах $x$ и $y$.
   Ответ: $t = 1, 2, 4$.
   Решение: Уравнение $x^2 + tx = y^2$ преобразуем в: \[ (2x + t)^2 - t^2 = 4y^2 \implies (2x + t - 2y)(2x + t + 2y) = t^2 \] Для отсутствия решений необходимо, чтобы $t^2$ нельзя представить как произведение двух натуральных чисел одинаковой чётности с разницей $4y$. Анализ делителей показывает, что это выполняется только для $t = 1, 2, 4$.
   
   
4. На олимпиаде школьники решали 6 задач. Оказалось, что никакие два из них не решили вместе все задачи, и каждую задачу решило ровно 100 школьников. При каком наименьшем числе школьников это возможно?
   Ответ: 200 школьников.
   Решение: По принципу Дирихле: если школьников меньше 200, то хотя бы один решил бы $\lceil \frac{6 \cdot 100}{199} \rceil = 4$ задачи. Тогда существовала бы пара школьников, вместе решивших все 6 задач. Конструкция: 4 группы по 50 человек, каждая группа решает 3 определённые задачи так, что любые два школьника из разных групп не покрывают все задачи.
   
   
5. Решите уравнение в действительных числах: \[ [x] + [2x] + [3x] + \cdots + [10x] = 2022, \] где $[a]$ — целая часть числа $a$.
   Ответ: $x \in \left[36\frac{6}{7}, 37\right)$.
   Решение: Пусть $x = n + a$, где $n = [x]$, $0 \le a < 1$. Тогда: \[ \sum_{k=1}^{10} [kx] = 55n + \sum_{k=1}^{10} [ka] = 2022 \] При $n = 36$ получаем $\sum [ka] = 42$. Анализ дробной части показывает, что $a \in \left[\frac{6}{7}, 1\right)$, что соответствует $x \in [36\frac{6}{7}, 37)$.
   
   
6. Сформулируйте и докажите малую теорему Ферма.
   Формулировка: Если $p$ — простое число, и $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
   Доказательство: Рассмотрим числа $a, 2a, ..., (p-1)a$ по модулю $p$. Все они различны и не нулевые, поэтому образуют перестановку $1, 2, ..., p-1$. Перемножив: \[ a^{p-1}(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p} \implies a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]
   
   
7. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (x - 2a + 3)^2 + (y - a)^2 = 2.25 \\ (x + 3)^2 + (y - a)^2 = a^2 + 2a + 1 \end{cases} \] имеет единственное решение.
   Ответ: $a \in \left\{ -\frac{5}{6}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{5}{2} \right\}$.
   Решение: 1. Первое уравнение — окружность с центром $(2a-3, a)$, радиус 1.5. 2. Второе уравнение — окружность с центром $(-3, a)$, радиус $|a+1|$. 3. Условие единственности решения: окружности касаются. 4. Расстояние между центрами: $|2a|$. 5. Условия касания: \[ |2a| = 1.5 + |a+1| \quad \text{или} \quad |2a| = |1.5 - |a+1|| \] 6. Решение четырёх случаев даёт указанные значения $a$.