Школа ЦМП из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1-3

Школа ЦМП

2024

1. Совокупные издержки фирмы составляли на 60% из переменных издержек и на 40% из постоянных. Через год технология изменилась: переменные издержки увеличились вдвое и составили 360 денежных единиц. На сколько процентных пунктов изменилась доля переменных издержек в совокупных? *(Если уменьшилась — укажите значение со знаком минус.)*
   
   
2. Дана функция \( Q = 2P \), а другая линейная функция проходит через точки (40; 110) и (70; 80) в координатах \( (Q; P) \). Найдите площадь, ограниченную возрастающей функцией, положительными значениями \( Q \) и \( P \), и сверху — координатой \( P \) точки пересечения двух функций.
   
   
3. Василий Петрович погашает долг ускоренными темпами. В первый год он выплатил 10 рублей, а каждый следующий год увеличивал выплату на постоянную величину. Всего за 20 лет он выплатил 4950 рублей. Какую сумму он выплатил бы за 30 лет на тех же условиях?

Решения задач

1. Совокупные издержки фирмы составляли на 60% из переменных издержек и на 40% из постоянных. Через год технология изменилась: переменные издержки увеличились вдвое и составили 360 денежных единиц. На сколько процентных пунктов изменилась доля переменных издержек в совокупных?
   Решение: Пусть первоначальные совокупные издержки (TC) равны $X$. Тогда:
   Переменные издержки (VC) = $0,6X$, постоянные (FC) = $0,4X$.
   После изменения VC увеличились вдвое: $2 \cdot 0,6X = 1,2X = 360$ д.е.
   Отсюда $X = \frac{360}{1,2} = 300$ д.е. (первоначальные TC).
   Новые TC = FC + новые VC = $0,4 \cdot 300 + 360 = 120 + 360 = 480$ д.е.
   Новая доля VC: $\frac{360}{480} = 0,75 = 75\%$.
   Изменение доли: $75\ 60% = 15$ процентных пунктов.
   Ответ: 15.
   
   
2. Дана функция \( Q = 2P \), а другая линейная функция проходит через точки (40; 110) и (70; 80) в координатах \( (Q; P) \). Найдите площадь, ограниченную возрастающей функцией, положительными значениями \( Q \) и \( P \), и сверху — координатой \( P \) точки пересечения двух функций.
   Решение: Найдем уравнение второй функции. Угловой коэффициент:
   $k = \frac{80 - 110}{70 - 40} = -1$.
   Уравнение: $P - 110 = -1(Q - 40) \Rightarrow P = -Q + 150$.
   Точка пересечения функций:
   $\begin{cases} Q = 2P \\ P = -Q + 150 \end{cases} \Rightarrow P = -2P + 150 \Rightarrow 3P = 150 \Rightarrow P = 50, Q = 100$.
   Площадь треугольника с вершинами в (0;0), (0;50), (100;0):
   $S = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 50 = 2500$.
   Ответ: 2500.
   
   
3. Василий Петрович погашает долг ускоренными темпами. В первый год он выплатил 10 рублей, а каждый следующий год увеличивал выплату на постоянную величину. Всего за 20 лет он выплатил 4950 рублей. Какую сумму он выплатил бы за 30 лет на тех же условиях?
   Решение: Используем формулу суммы арифметической прогрессии:
   $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
   Для $n=20$:
   $4950 = \frac{2 \cdot 10 + 19d}{2} \cdot 20 \Rightarrow 4950 = 10(20 + 19d) \Rightarrow 19d = 475 \Rightarrow d = 25$.
   Для $n=30$:
   $S_{30} = \frac{2 \cdot 10 + 29 \cdot 25}{2} \cdot 30 = \frac{745}{2} \cdot 30 = 11175$.
   Ответ: 11175.