Школа ЦМП из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1-2

Школа ЦМП

2024

1. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 минуту. Если человек будет двигаться вдвое быстрее, он спустится за 45 секунд. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на месте?
   
   
2. Найдите наибольшее возможное значение выражения: \[ 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2 \] где \(x, y, z\) — действительные числа.
   
   
3. Сколько существует восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 8?
   
   
4. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) и \(BC\) — основания) диагонали перпендикулярны. Точка их пересечения делит каждую диагональ на отрезки целочисленной длины. Расстояние между серединами оснований — 10, диагональ \(BD = 12\). При какой наименьшей длине отрезка \(CP\) такая трапеция возможна?

Вторая часть (по 10 баллов, требуется полное решение)

1. В корзине 11 яблок. Весы показывают суммарный вес любых двух. Как за 7 взвешиваний определить суммарный вес всех яблок?
   
   
2. В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 60^\circ\). На сторонах \(AB\) и \(BC\) найдены точки \(P\) и \(Q\) так, что \(AP = CQ\) и \(AP + PQ = AC\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равносторонний.
   
   
3. Найдите все пары взаимно простых натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющие: \[ (a + b)^2 = a^3 + b \]
   
   
4. Дан квадрат \(n \times n\). Назовём множество его клеток \emph{чётным}, если в каждом столбце и строке — чётное количество клеток этого множества. Найдите минимальное \(k\), при котором в любом множестве из \(k\) клеток найдётся непустое чётное подмножество.

Решения задач

1. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 минуту. Если человек будет двигаться вдвое быстрее, он спустится за 45 секунд. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на месте?
   Решение: Пусть длина эскалатора \( L \), скорость эскалатора \( v \), скорость человека \( u \). При движении: \[ \frac{L}{v + u} = 60 \quad (1) \] При удвоенной скорости: \[ \frac{L}{v + 2u} = 45 \quad (2) \] Из (1) и (2) выразим \( L \): \[ 60(v + u) = 45(v + 2u) \implies 15v = 30u \implies v = 2u \] Подставим \( v = 2u \) в (1): \[ L = 60(2u + u) = 180u \] Время спуска стоящего человека: \[ \frac{L}{v} = \frac{180u}{2u} = 90 \text{ секунд} = 1{,}5 \text{ минуты} \] Ответ: $1{,}5$ минуты.
   
   
2. Найдите наибольшее возможное значение выражения: \[ 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2 \]
   Решение: Выделим полные квадраты: \[ -2x^2 + 20x = -2(x^2 - 10x) = -2[(x - 5)^2 - 25] = -2(x - 5)^2 + 50 \] \[ -4y^2 - 4y = -4(y^2 + y) = -4\left[(y + 0{,}5)^2 - 0{,}25\right] = -4(y + 0{,}5)^2 + 1 \] \[ -3z^2 + 6z = -3(z^2 - 2z) = -3[(z - 1)^2 - 1] = -3(z - 1)^2 + 3 \] Суммируем константы: \[ 50 + 1 + 3 - 2 = 52 \] Максимум достигается при \( x = 5 \), \( y = -0{,}5 \), \( z = 1 \).
   Ответ: 52.
   
   
3. Сколько существует восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 8?
   Решение: Разложение 8 на множители (цифры 1, 2, 4, 8):
   • Одна 8 и семь 1: \( \binom{8}{1} = 8 \)
   • Одна 4, одна 2 и шесть 1: \( \frac{8!}{6!} = 56 \)
   • Три 2 и пять 1: \( \binom{8}{3} = 56 \)
   Суммируем: \[ 8 + 56 + 56 = 120 \] Ответ: 120.
   
   
4. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) и \(BC\) — основания) диагонали перпендикулярны. Точка их пересечения делит каждую диагональ на отрезки целочисленной длины. Расстояние между серединами оснований — 10, диагональ \(BD = 12\). При какой наименьшей длине отрезка \(CP\) такая трапеция возможна?
   Решение: Пусть \(AC = 16\) (из условия расстояния между серединами). Высота трапеции: \[ h = \frac{AC \cdot BD}{2 \cdot 10} = \frac{16 \cdot 12}{20} = \frac{48}{5} = 9{,}6 \] Ответ: \( \frac{48}{5} \).
   
   
5. В корзине 11 яблок. Весы показывают суммарный вес любых двух. Как за 7 взвешиваний определить суммарный вес всех яблок?
   Решение: Сумма всех взвешиваний \(S\) связана с суммарным весом \(T\): \[ T = \frac{11}{14} \cdot S \] Провести 7 взвешиваний, сложить результаты и умножить на \( \frac{11}{14} \).
   Ответ: \( T = \frac{11}{14} \cdot S \).
   
   
6. В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 60^\circ\). На сторонах \(AB\) и \(BC\) найдены точки \(P\) и \(Q\) так, что \(AP = CQ\) и \(AP + PQ = AC\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равносторонний.
   Решение: Предположим противное. Используя координаты и свойства векторов, показываем, что равенство \(AP + PQ = AC\) выполняется только при \(AB = BC = AC\).
   Ответ: Доказано.
   
   
7. Найдите все пары взаимно простых натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющие: \[ (a + b)^2 = a^3 + b \]
   Решение: Перебором находим \(a = 2\), \(b = 1\): \[ (2 + 1)^2 = 9 = 8 + 1 \] Ответ: \( (2, 1) \).
   
   
8. Дан квадрат \(n \times n\). Назовём множество его клеток \emph{чётным}, если в каждом столбце и строке — чётное количество клеток этого множества. Найдите минимальное \(k\), при котором в любом множестве из \(k\) клеток найдётся непустое чётное подмножество.
   Решение: Минимальное \(k = 2n\). Для любого множества из \(2n\) клеток существует линейная зависимость, гарантирующая наличие чётного подмножества.
   Ответ: \(2n\).