8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



Важно! Раздел “Математика” поделен на 3 уровня сложности.
Профили гуманитарного направления: задачи 1–10.
Профили технического и естественно-научного направления: выбрать задачи 6–15 на сумму 15 баллов.


  1. Вычислите: \[ \left( -0{,}25 + \frac{7}{8} \right) : (-1{,}25) \]

  2. Решите уравнение. В ответ запишите сумму корней: \[ 4x^2 - 7x - 2 = 0 \]

  3. Решите неравенство. В ответ запишите наименьшее целое решение: \[ 4(2x - 1) - 3(3x + 2) > 1 \]

  4. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции.

  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу.

  6. Упростите выражение: \[ (\sqrt{15} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{15} - \frac{5}{3} \cdot \sqrt{27} \]

  7. Решите уравнение: \[ \frac{y^2 - 6y}{y - 5} = \frac{5}{5 - y} \]

  8. Мастер должен изготовить 72 детали, ученик — 64. Изготавливая на 4 детали в час больше, мастер завершает на 2 часа раньше. Сколько деталей в час делает мастер?

  9. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, острый угол — 30°. Найдите площадь.

  10. Отрезки \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \), проведённые из точки \( A \). Найдите угол \( \angle BAC \), если середина отрезка \( AO \) лежит на окружности.

  11. Найдите значение выражения: \[ \frac{9 - 5 \cdot 81^{-3}}{(-729)^{-4}} \]

  12. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \[ x^2 + (a - 1)x + a^2 + 3a = 0 \] равно 4? В ответ запишите сумму таких параметров.

  13. Два раствора массой 10 кг и 16 кг при соединении дают 55% раствор кислоты. Если смешать равные массы, концентрация — 61\%. Сколько килограммов кислоты в первом растворе?

  14. Основания трапеции равны 18 и 12, боковая сторона — 6, угол между ней и основанием имеет косинус \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \). Найдите площадь трапеции.

  15. Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) при боковой стороне \( AB \) трапеции пересекаются в точке \( F \). Найдите \( AB \), если \( AF = 24 \), \( BF = 32 \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left( -0{,}25 + \frac{7}{8} \right) : (-1{,}25) \] Решение: \[ -0{,}25 = -\frac{1}{4}, \quad \frac{7}{8} = 0{,}875 \] \[ -\frac{1}{4} + 0{,}875 = 0{,}625 \] \[ 0{,}625 : (-1{,}25) = -0{,}5 \] Ответ: $-0{,}5$.

  2. Решите уравнение. В ответ запишите сумму корней: \[ 4x^2 - 7x - 2 = 0 \] Решение: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \] \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm 9}{8} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = -0{,}25 \] Сумма корней: $2 + (-0{,}25) = 1{,}75 = \frac{7}{4}$. Ответ: $\frac{7}{4}$.

  3. Решите неравенство. В ответ запишите наименьшее целое решение: \[ 4(2x - 1) - 3(3x + 2) > 1 \] Решение: \[ 8x - 4 - 9x - 6 > 1 \Rightarrow -x - 10 > 1 \Rightarrow x < -11 \] Наименьшее целое решение: $-12$. Ответ: $-12$.

  4. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Решение: Сумма противоположных углов: $140^\circ$, значит каждый равен $70^\circ$. Оставшиеся углы: \[ \frac{360^\circ - 140^\circ \cdot 2}{2} = 110^\circ \] Ответ: $110^\circ$.

  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу. Решение: \[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Ответ: 17.

  6. Упростите выражение: \[ (\sqrt{15} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{15} - \frac{5}{3} \cdot \sqrt{27} \] Решение: \[ \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} - \frac{5}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 15 + \sqrt{75} - 5\sqrt{3} \] \[ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \Rightarrow 15 + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 15 \] Ответ: 15.

  7. Решите уравнение: \[ \frac{y^2 - 6y}{y - 5} = \frac{5}{5 - y} \] Решение: \[ \frac{y(y - 6)}{y - 5} + \frac{5}{y - 5} = 0 \Rightarrow \frac{y^2 - 6y + 5}{y - 5} = 0 \] \[ y^2 - 6y + 5 = 0 \Rightarrow y = 1 \quad (\text{т.к. } y = 5 \notin \text{ОДЗ}) \] Ответ: 1.

  8. Мастер должен изготовить 72 детали, ученик — 64. Изготавливая на 4 детали в час больше, мастер завершает на 2 часа раньше. Сколько деталей в час делает мастер? Решение: Пусть $x$ — скорость мастера: \[ \frac{64}{x - 4} - \frac{72}{x} = 2 \Rightarrow 64x - 72(x - 4) = 2x(x - 4) \] \[ 2x^2 - 8x - 288 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 144 = 0 \Rightarrow x = 12 \] Ответ: 12.

  9. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, острый угол — 30°. Найдите площадь. Решение: \[ S = 12 \cdot 14 \cdot \sin{30^\circ} = 12 \cdot 14 \cdot 0{,}5 = 84 \text{ см}^2 \] Ответ: 84 см².

  10. Отрезки \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \), проведённые из точки \( A \). Найдите угол \( \angle BAC \), если середина отрезка \( AO \) лежит на окружности. Решение: Пусть \( M \) — середина \( AO \). Тогда \( OM = \frac{AO}{2} = R \Rightarrow AO = 2R \). В прямоугольном треугольнике \( ABO \): \[ \cos{\theta} = \frac{AB}{AO} = \frac{R\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = 30^\circ \Rightarrow \angle BAC = 60^\circ \] Ответ: $60^\circ$.

  11. Найдите значение выражения: \[ \frac{9 - 5 \cdot 81^{-3}}{(-729)^{-4}} \] Решение: \[ 81 = 3^4, \quad 729 = 3^6 \Rightarrow \frac{9 - 5 \cdot 3^{-12}}{3^{-24}} = 9 \cdot 3^{24} - 5 \cdot 3^{12} \] Ответ: $9 \cdot 3^{24} - 5 \cdot 3^{12}$.

  12. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \[ x^2 + (a - 1)x + a^2 + 3a = 0 \] равно 4? В ответ запишите сумму таких параметров. Решение: \[ a^2 + 3a = 4 \Rightarrow a^2 + 3a - 4 = 0 \Rightarrow a = 1 \text{ или } a = -4 \] Проверка дискриминанта для \( a = -4 \): \[ D = (-5)^2 - 4(16 - 12) = 9 > 0 \] Ответ: $-4$.

  13. Два раствора массой 10 кг и 16 кг при соединении дают 55% раствор кислоты. Если смешать равные массы, концентрация — 61\%. Сколько килограммов кислоты в первом растворе? Решение: \[ \begin{cases} x + y = 0{,}55 \cdot 26 = 14{,}3 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{16} = 0{,}61 \end{cases} \Rightarrow x = 8{,}7 \text{ кг} \] Ответ: $8{,}7$.

  14. Основания трапеции равны 18 и 12, боковая сторона — 6, угол между ней и основанием имеет косинус \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \). Найдите площадь трапеции. Решение: \[ \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow h = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \] \[ S = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = 30 \] Ответ: 30.

  15. Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) при боковой стороне \( AB \) трапеции пересекаются в точке \( F \). Найдите \( AB \), если \( AF = 24 \), \( BF = 32 \). Решение: Треугольник \( AFB \) прямоугольный: \[ AB = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{1600} = 40 \] Ответ: 40.
Материалы школы Юайти